[논문 리뷰] The Erdős-Hajnal conjecture for caterpillars and their complements

Anita Liebenau, Marcin Pilipczuk|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 24.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 보완에 대해 닫혀 있는 유도 그래프 계열에서 고정된 캐터필러와 그 보완을 인덕티브 부분그래프로 포함하지 않는 그래프 계열에 대해 강한 에르되시-헤일랄 성질을 증명한다. 구조적 분해와 희박한 그래프 기법을 사용하여, 이러한 그래프가 두 개의 선형 크기의 정점 집합을 포함하며, 이 집합들은 서로 완전히 인접하거나 완전히 반대인 정점 집합임을 확립한다. 이는 기존의 경로와 후크에 한정된 결과를 모두 캐터필러로 확장한다.

ABSTRACT

The celebrated Erdős-Hajnal conjecture states that for every proper hereditary graph class $\mathcal{G}$ there exists a constant $\varepsilon = \varepsilon(\mathcal{G}) > 0$ such that every graph $G \in \mathcal{G}$ contains a clique or an independent set of size $|V(G)|^\varepsilon$. Recently, there has been a growing interest in the symmetrized variant of this conjecture, where one additionally requires $\mathcal{G}$ to be closed under complementation. We show that any hereditary graph class that is closed under complementation and excludes a fixed caterpillar as an induced subgraph satisfies the Erdős-Hajnal conjecture. Here, a caterpillar is a tree whose vertices of degree at least three lie on a single path (i.e., our caterpillars may have arbitrarily long legs). In fact, we prove a stronger property of such graph classes, called in the literature the strong Erdős-Hajnal property: for every such graph class $\mathcal{G}$, there exists a constant $δ= δ(\mathcal{G}) > 0$ such that every graph $G \in \mathcal{G}$ contains two disjoint sets $A,B \subseteq V(G)$ of size at least $δ|V(G)|$ each so that either all edges between $A$ and $B$ are present in $G$, or none of them. This result significantly extends the family of graph classes for which we know that the strong Erdős-Hajnal property holds; for graph classes excluding a graph $H$ and its complement it was previously known only for paths [Bousquet, Lagoutte, Thomassé, JCTB 2015] and hooks (i.e., paths with an additional pendant vertex at third vertex of the path) [Choromanski, Falik, Liebenau, Patel, Pilipczuk, arXiv:1508.00634].

연구 동기 및 목표

• 고정된 캐터필러와 그 보완을 인덕티브 부분그래프로 포함하지 않는 그래프 계열에 대해 강한 에르되시-헤일랄 성질을 증명함으로써, 모든 캐터필러에 대해 추측 1.1을 해결하는 것.
• 이전에 연구된 경우들인 경로와 후크를 넘어서, 강한 에르되시-헤일랄 성질을 만족하는 그래프 계열의 가족을 확장하는 것.
• 지역 밀도가 유한한 희박한 그래프를 다룰 수 있는 구조적 프레임워크를 제공함으로써, 에르되시-헤일랄 및 χ-유계성 추측과 관련된 문제에 기여하는 것.
• 현재 결과로 다루지 못하는 비-캐터필러 나무(예: 10정점의 나무)로의 향후 확장을 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 모든 고도수 정점들이 단일 경로 위에 존재한다는 사실을 활용하여, 중심 경로와 외곽 정점들로 그래프를 분해하는 구조적 분해(캐터필러 구조).
• 로컬 밀도가 유한하고 이웃의 성장이 통제되는 그래프에 초점을 맞춘, 포크와 수다코프의 기법을 응용한 희박한 그래프 기법의 사용.
• 이론적 반복을 통해 이웃을 개선하고 고카버리 정점들을 선택함으로써, 두 개의 서로소 정점 집합 A와 B를 선형 크기로 구성하는 방법.
• 임의의 선형 크기의 부분집합에서, 유한 반경 내에 많은 이웃을 가진 정점이 존재함을 보장하기 위해 램지 유사 추론을 적용함.
• 캐터필러의 구조에 대한 귀납법과 케이스 분석을 통해, 이웃성과 반대인접성의 성질을 다양한 구성요소 간에 활용함.
• 그래프와 그 보완 모두에 대해 분석이 강력하게 유지되도록 보장하기 위해, 클래스가 보완에 대해 닫혀 있다는 사실을 활용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 보완에 대해 닫혀 있는 유도 그래프 계열 중에서 고정된 캐터필러를 인덕티브 부분그래프로 포함하지 않는 그래프 계열이 강한 에르되시-헤일랄 성질을 만족하는가?
• RQ2 기존의 경로와 후크에 사용된 기법을, 임의로 긴 다리를 가진 트리도 포함하는 모든 캐터필러로 일반화할 수 있는가?
• RQ3 경로 유사 또는 후크 유사 구성 이외의 통일된 구조적 이유로, 이러한 그래프 계열이 큰 동질성 쌍을 가지는가?
• RQ4 큰 공(property of large balls, 지역 밀도 조건)을 사용하여, 에르되시-헤일랄과 χ-유계성 접근법을 희박한 그래프 계열에서 통합할 수 있는가?
• RQ5 보완에 대해 닫혀 있는 그래프 계열에서 강한 에르되시-헤일랄 성질의 최소 장애물은 무엇인가?

주요 결과

• 보완에 대해 닫혀 있는 유도 그래프 계열 중에서 고정된 캐터필러와 그 보완을 인덕티브 부분그래프로 포함하지 않는 그래프 계열에 대해 강한 에르되시-헤일랄 성질이 성립한다.
• 모든 캐터필러 T에 대해, T-자유 및 T̄-자유 그래프의 계열은 모든 n-정점 그래프가 크기가 적어도 δn인 두 개의 서로소 정점 집합 A와 B를 포함하며, 이 집합들은 서로 완전히 인접하거나 완전히 반대인 정점 집합임을 보장하는 상수 δ > 0를 가진다.
• 이 결과는 이전에 알려진 경로와 후크를 넘어서, 임의로 긴 다리를 가진 캐터필러를 포함한 모든 캐터필러에 대해 강한 에르되시-헤일랄 성질을 만족하는 그래프 계열의 가족을 확장한다.
• 증명 과정은 이러한 그래프가 이웃 통제와 반복적 선택을 통해 큰 동질성 쌍을 식별할 수 있는 구조적 분해를 허용함을 입증한다.
• 이 결과는 모든 9정점 이하의 나무에 대해 추측 1.1을 해결하며, 10정점의 비-캐터필러 나무를 다룰 수 있는 프레임워크를 제공한다.
• 이 작업은 금지된 부분수형과 그 보완으로 정의된 그래프 계열에서 χ-유계성 및 에르되시-헤일랄 유사 성질에 대한 향후 연구의 기초를 마련한다.