[논문 리뷰] The Ergodic Closing Lemma for Nonsingular Endomorphisms

Armando Castro|ArXiv.org|2009. 06. 11.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 컴acts Riemannian 다양체 위의 $C^1$ 비특이 내면사상으로 Mañé의 Ergodic Closing Lemma를 일반화하며, 이러한 맵의 잔여집합에서, 불변 확률 측도의 집합이 주기 궤도에 지지된 에르고딕 측도의 닫힌 볼록 hull임을 증명한다. 증명은 위상적 편향 기법과 에르고딕 이론, Vitali 덮개 논증을 결합하여, 일반적인 궤도가 측도 이론적 의미에서 주기 궤도에 의해 샤로잉됨을 보인다.

ABSTRACT

We prove the ergodic Closing Lemma for Nonsingular Endomorphisms.

연구 동기 및 목표

• 다양체에서의 diffeomorphism에서 Mañé의 Ergodic Closing Lemma를 $C^1$ 비특이 내면사상으로 확장하는 것.
• 비특이 내면사상의 잔여 부분집합에서, 불변 확률 측도가 주기 궤도에 지지된 에르고딕 측도의 닫힌 볼록 hull임을 확립하는 것.
• 내면사상 역학에서 일반적인 초구형성과 확장을 연구하기 위한 기초 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• 근처의 맵 $g \in \mathcal{U}$ 의 주기 궤도에 의해 $\epsilon$-샤로잉되는 점들의 집합 $\Sigma(f, \mathcal{U}, \epsilon)$ 을 도입한다.
• 위상적 편향 보조정리를 사용하여, 자신에게 가까이 되돌아오는 점들이 $C^1$-근접한 내면사상의 주기 궤도에 의해 $\epsilon$-샤로잉될 수 있음을 보인다.
• Birkhoff의 Ergodic 정리와 Vitali 덮개 논증을 적용하여, 샤로잉 집합이 임의의 불변 확률 측도에서 전측도를 가짐을 증명한다.
• 중첩된 이웃 기저 $\mathcal{U}_n$ 을 사용하여 $\Sigma(f) = \bigcap_n \Sigma(f, \mathcal{U}_n, 1/n)$ 을 정의함으로써 잔여성을 확보한다.
• 초구형성 점들의 안정성을 활용하여, 잔여집합에서의 편향이 초구형성을 유지함을 보장한다.
• 궤도를 따라 경험 측도의 약한-* 수렴을 사용하여, 에르고딕 측도가 주기 궤도 측도의 극한임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Mañé의 Ergodic Closing Lemma 는 비특이 내면사상으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 일반적인 $C^1$ 비특이 내면사상에서, 불변 확률 측도의 집합이 주기 궤도에 지지된 에르고딕 측도의 닫힌 볼록 hull인가?
• RQ3 일반적인 비특이 내면사상에서, 모든 에르고딕 불변 측도가 주기 궤도 측도의 약한-* 극한으로 나타나는가?
• RQ4 일반 궤도가 $C^1$ 비특이 내면사상 설정에서 주기 궤도에 의해 샤로잉될 수 있는가?
• RQ5 잔여집합과 주기 측도 볼록 hull 사상의 연속성은 일반적인 구조적 성질을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 잔여 부분집합 $\mathcal{R} \subset \mathrm{NEnd}^1(M)$ 에 대해, 모든 $f \in \mathcal{R}$ 는 $\mathcal{M}_1(f)$ 가 $f$ 의 주기 궤도에 지지된 에르고딕 측도의 닫힌 볼록 hull임을 만족한다.
• 근처 맵의 주기 궤도에 의해 $\epsilon$-샤로잉되는 점들의 집합 $\Sigma(f)$ 는 임의의 $f$-불변 확률 측도에서 전측도를 가진다.
• 모든 $f \in \mathrm{NEnd}^1(M)$ 에 대해, 집합 $\Sigma(f, \mathcal{U}, \epsilon)$ 은 $f$ 에 대해 전측도 집합이며, 이는 Ergodic Closing Lemma 의 비잔여판을 증명한다.
• 에르고딕 측도는 $g_k \to f$ 를 만족하는 근처 맵 $g_k$ 의 주기 점에서 유도된 주기 궤도 측도의 약한-* 극한이다. 이 주기 점들은 초구형이며, 작은 편향에서도 유지된다.
• 사상 $f \mapsto \overline{\mathcal{M}_{\text{per}}(f)}$ 는 하부연속이며, 이 사상의 연속점 집합은 잔여집합을 이룬다.
• 잔여집합 $\mathcal{R}$ 은 주기 궤도 에르고딕 측도의 닫힌 볼록 hull 이 모든 $f$-에르고딕 측도를 포괄함을 보장하며, 이는 구조적 안정성 추측의 측도론적 측면을 확인한다.