[논문 리뷰] The ergodic theory of lattice subgroups

Alexander Gorodnik, Amos Nevo|ArXiv.org|2006. 05. 22.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 37인용 수 79

한 줄 요약

이 논문은 단순 대수적 및 S-대수적 군의 격자 부분군에 대한 행동에 대해 정량적 평균 및 점별 에르고딕 정리들을 수립하며, 스펙트럼 갭이 존재할 경우 수렴 속도를 명시적으로 증명한다. 스펙트럼 갭에 기반한 명시적 오차 항을 포함한 격자 점 수 문제를 해결하고, 적합한 집합에서 체적 성장, 스펙트럼 성질, 기하적 정규성 간의 일반적 프레임워크를 이용해 등급 작용에서의 균등분포를 수립한다.

ABSTRACT

We prove mean and pointwise ergodic theorems for general families of averages on a semisimple algebraic (or S-algebraic) group G, together with an explicit rate of convergence when the action has a spectral gap. Given any lattice in G, we use the ergodic theorems for G to solve the lattice point counting problem for general domains in G, and prove mean and pointwise ergodic theorems for arbitrary measure-preserving actions of the lattice, together with explicit rates of convergence when a spectral gap is present. We also prove an equidistribution theorem in arbitrary isometric actions of the lattice. For the proof we develop a general method to derive ergodic theorems for actions of a locally compact group G, and of a lattice subgroup Gamma, provided certain natural spectral, geometric and regularity conditions are satisfied by the group G, the lattice Gamma, and the domains where the averages are supported. In particular, we establish the general principle that under these conditions a quantitative mean ergodic theorem for a family of averages gives rise to a quantitative solution of the lattice point counting problem in their supports. We demonstrate the new explicit error terms that we obtain by a variety of examples.

연구 동기 및 목표

• 국소 콪트 군과 그들의 격자에 대한 에르고딕 정리를 도출하기 위한 일반적 프레임워크를 개발하는 것. 이는 스펙트럼, 기하학적 조건 및 정규성 조건을 포함한다.
• 단순 및 S-대수적 군의 일반 도메인에서 격자 점 수 문제를 명시적 오차 항과 함께 해결하는 것.
• 격자 부분군의 임의의 측도 보존 작용에 대한 평균 및 점별 에르고딕 정리를 수립하며, 스펙트럼 갭이 존재할 경우 정량적 수렴 속도를 포함한다.
• 개발된 에르고딕 이론 프레임워크를 사용해 격자 부분군의 등급 작용에서의 균등분포 정리를 증명하는 것.
• 정량적 평균 에르고딕 정리가 $L^2(G/\Gamma)$에서 평균의 가속화에 대해 성립할 경우, 해당 평균의 지지집합에서 격자 점 수 문제에 대한 정량적 해가 유도됨을 보이는 것.

제안 방법

• 국소 콩트 군 $G$에서의 적합한 집합의 개념을 도입한다. 이는 좌불변 거리와 하르 측도 성장에 관한 기하학적 및 측도 이론적 조건으로 정의된다.
• 스펙트럼 추정과 구면 함수 이론을 사용하여 $G$ 위의 평균 가족에 대한 최대 및 지수적 최대 부등식을 수립한다.
• 스펙트럼 갭 기법을 통해 $G$-작용에 대한 에르고딕 정리를 증명하며, 스펙트럼 갭 존재 시 지수 수렴 속도를 도출함을 보인다.
• 격자 작용을 $G/\Gamma$ 위의 유도된 작용으로 환원하고, 환원 정리와 강력한 최대 부등식을 사용하여 $G$-작용 결과를 적용한다.
• 체적 정규성과 타우버형 추론을 사용하여 대수적 다양체 위의 높이 함수의 수준집합에 대한 헬더 연속성과 체적 추정을 유도한다.
• 히로나카의 특이점 해소와 컨볼루션 기법을 적용하여 높이 함수로 정의된 가족의 적합성을 보장하는 체적 함수의 해석적 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 단순 리 군에서의 일반 평균 가족에 대해 최소한의 기하학적 및 스펙트럼 가정 하에 에르고딕 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 군 작용의 스펙트럼 갭과 평균 및 점별 에르고딕 정리에서의 수렴 속도 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 에르고딕 이론적 방법을 사용하여 $G$의 임의의 도메인에서 격자 점 수 문제를 명시적 오차 항과 함께 해결할 수 있는가?
• RQ4 격자 부분군의 등급 작용에서 궤도 측도의 균등분포가 발생하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 대수적 다양체 위의 정규 함수의 수준집합의 체적 성장 성질이 평균 가족의 적합성과 정규성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 적합한 평균 가족에 대해 $L^2(G/\Gamma)$에서 정량적 평균 에르고딕 정리가 성립할 경우, 해당 평균의 지지집합에서 격자 점 수 문제에 대한 해가 명시적 오차 항과 함께 도출된다.
• 스펙트럼 갭이 존재할 경우, 격자 작용에 대한 평균 및 점별 에르고딕 정리에서 수렴 속도는 지수적으로 빠르며, 오차 항은 $e^{-c t}$ 형태로 감소한다. 여기서 $c>0$이다.
• 카르탕-킬링 거리로 정의된 단순 리 군 내의 반사 집합에 대해 체적 성장은 $m_G(G_{t+\tau}) \leq (1 + c\tau) m_G(G_t)$를 만족하며, 이는 적합성을 확인한다.
• $t \mapsto \text{vol}(\{x : \sum_i \log \|x_i\|_i < t\})$는 국소 체 위의 아핀 다양체의 곱에서 정의된 함수는 균일하게 헬더 연속적이며, 이는 체적 정규성을 보장한다.
• 실수 대수적 다양체 위의 높이 함수에 대해 체적 함수 $g(t) = \int_{\Psi < t} d\omega$ 는 어떤 $\beta > 0$ 에 대해 $g((1+\epsilon)t) - g(t) \ll \epsilon^\beta \max\{1, g(t)\}$ 를 만족하며, 이는 헬더 정규성을 확립한다.
• 이 이론은 $S$-대수적 군과 그들의 격자에 적용되며, 정수 단위행렬 수세기, $n$-형식의 정수 동치, 쌍곡 격자 점 수 문제에 대해 명시적 오차 항을 도출한다.