[논문 리뷰] The eta-invariant, Maslov index, and spectral flow for Dirac-type operators on manifolds with boundary

Paul Kirk, Matthias Lesch|ArXiv.org|2000. 12. 15.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 다양체 위의 디랙 연산자에 대한 $\eta$-항진수의 새로운 접합 공식을 수립하며, 칼데론 프로젝터와 경계 프로젝터를 포함한 마스로프 삼중 지표를 통해 정수 보정 항을 기하학적으로 내재된 방식으로 표현한다. 이는 스펙트럼 흐름, 마스로프 지표, $\eta$-항진수를 연결하는 기하학적으로 자연스러운 공식을 제공하며, 아티야–파타디–식리의 $\rho$-항진수와 비가환성 정리에 응용된다.

ABSTRACT

Several proofs have been published of the Mod Z gluing formula for the eta-invariant of a Dirac operator. However, so far the integer contribution to the gluing formula for the eta-invariant is left obscure in the literature. In this article we present a gluing formula for the eta-invariant which expresses the integer contribution as a triple index involving the boundary conditions and the Calderon projectors of the two parts of the decomposition. The main ingredients of our presentation are the Scott-Wojciechowski theorem for the determinant of a Dirac operator on a manifold with boundary and the approach of Bruning-Lesch to the mod Z gluing formula. Our presentation includes careful constructions of the Maslov index and triple index in a symplectic Hilbert space. As a byproduct we give intuitively appealing proofs of two theorems of Nicolaescu on the spectral flow of Dirac operators. As an application of our methods, we carry out a detailed analysis of the eta-invariant of the odd signature operator coupled to a flat connection using adiabatic methods. This is used to extend the definition of the Atiyah-Patodi-Singer rho-invariant to manifolds with boundary. We derive a ``non-additivity'' formula for the Atiyah-Patodi-Singer rho-invariant and relate it to Wall's non-additivity formula for the signature of even-dimensional manifolds.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럼 흐름과 마스로프 지표, $\eta$-항진수를 심플렉틱 힐버트 공간 프레임워크 안에서 통합하는 기하학적으로 자연스러운 $\eta$-항진수 공식을 제공한다.
• 아디아바틱 방법을 사용하여 경계를 가진 다양체로 아티야–파타디–식리의 $\rho$-항진수를 확장하고, 비가환성 공식을 유도한다.
• 뉴마이에스쿠의 스펙트럼 흐름 정리들을 새로운 프레임워크를 사용해 개념적으로 단순하고 직관적인 증명을 제공한다.
• 등온 스트레칭을 통한 평탄한 접속을 가진 기현상수 연산자 분석을 통해 $L^2$ 해와 라그랑주 부분공간의 역할을 명확히 한다.

제안 방법

• 경계를 가진 다양체 위의 디랙 연산자에 대한 행렬식 항등식에 관한 스코트– Wojciechowski 정리를 사용한다.
• 브류닝–레쉬의 접근법을 $\eta$-항진수 모듈로 $\mathbb{T}$ 접합 공식에 적용하여 정밀화된 정수 보정 항을 정의한다.
• 프로젝터와 라그랑주 부분공간을 사용하여 심플렉틱 힐버트 공간 설정에서 마스로프 지표와 삼중 지표를 구성한다.
• 경계 기하학이 변형될 때 $\eta$-항진수의 행동을 분석하기 위해 콜라프의 아디아바틱 스트레칭을 활용한다.
• 칼데론 프로젝터와 경계 프로젝터 $P$를 사용하여 디랙 연산자의 자기수반 확장을 정의한다.
• 일차 매개변수 가중 연산자 $D_{P_t}$ 의 스펙트럼 흐름을 사용하여 정수 보정 항을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 흐름과 마스로프 지표, $\eta$-항진수 사이의 정확한 관계는 디랙 연산자에 대한 경계를 가진 다양체의 맥락에서 어떻게 드러나는가?
• RQ2 경계 조건이 상보적 프로젝터가 아니면 $\eta$-항진수 접합에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 아티야–파타디–식리의 $\rho$-항진수는 경계를 가진 다양체로 확장될 수 있으며, 그 행동을 지배하는 비가환성 공식은 무엇인가?
• RQ4 성분 $M^+$ 와 $M^-$ 에서의 $L^2$ 해는 $\eta$-항진수의 비가환성 실패에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 접합 공식에서 정수 보정 항은 기하학적으로 내재된 방식으로 마스로프 삼중 지표 $\tau_{\mu}(I-P_{M^{-}}, P, P_{M^{+}})$ 로 표현된다.
• 모든 $P \in \mathrm{Gr}(A)$ 에 대해 공식 $\widetilde{\eta}(D,M) = \widetilde{\eta}(D_{P},M^{+}) + \widetilde{\eta}(D_{I-P},M^{-}) + \mathrm{SF}(D_{P_t},M^{+}) + \mathrm{SF}(D_{I-P_t},M^{-})$ 이 성립하며, 스펙트럼 흐름 항이 정수 기여를 캡처한다.
• 기현상수 연산자에 평탄한 접속을 붙인 경우, 스펙트럼 흐름 항은 위상적으로 0이 되며, $W_{\pm} \oplus \gamma(W^{\perp}_{\pm})$ 의 심플렉틱 불변량은 추가적인 제어 조건인 정리 8.5에 의해 0이 된다.
• 만약 $L^{\infty}_{M^{-}} \cap L^{\infty}_{M^{+}} = 0$ 이면, 큰 $r$ 에 대해 $\widetilde{\eta}(D,M_r) = \widetilde{\eta}(D,M^{+};F^{+}_{\nu} \oplus W_{+} \oplus \gamma(W_{+}^{\perp}) \oplus V_{+}) + \widetilde{\eta}(D,M^{-};F^{-}_{\nu} \oplus W^{\perp}_{+} \oplus \gamma(W_{+}) \oplus \gamma(V_{+}))$ 이 성립한다.
• 아티야–파타디–식리 경계 조건을 가진 $\eta$-항진수의 비가환성은 스펙트럼 흐름의 차이로 측정되며, $\mathrm{SF}(D,M^{-}_{r};F^{+}\oplus V_{+}) - \mathrm{SF}(D,M_{r})$ 이다. $r \geq r_0$ 에 대해 성립한다.
• 아티야–파타디–식리의 $\rho$-항진수에 대한 비가환성 공식은, 심플렉틱 불변량을 통해 짝수 차원 다양체의 서명에 대한 월의 비가환성 정리와 관련이 있다.