[논문 리뷰] The Euclidean numbers

Vieri Benci, Marco Forti|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 14.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 첫 번째 비가산 기수 Ω 이하의 순서수를 색인으로 사용하는 초한합을 통해 구성된 포화된 하이퍼실수 체 𝔼로 이루어진 유클리드 수의 분야를 도입한다. 초한합을 공리화하고 순서수 산술을 통합함으로써, 𝔼는 모든 유클리드 공통 개념을 만족시키며 무한집합에 대한 수량 이론을 제공하고, 키슬러의 포화된 하이퍼실수 체와 동형이 되어 아르키메데스 성질이 성립하지 않는 유클리드 연속체의 모델을 제공하며, '전체는 부분보다 크다'는 직관을 유지한다.

ABSTRACT

We introduce axiomatically a Nonarchimedean field E, called the field of the Euclidean numbers, where a transfinite sum is defined that is indicized by ordinal numbers less than the first inaccessible Ω. Thanks to this sum, E becomes a saturated hyperreal field isomorphic to the so called Kiesler field of cardinality Ω, and suitable topologies can be put on E and on Ω \cup {Ω} so as to obtain the transfinite sums as limits of a suitable class of their finite subsums. Moreover there is a natural isomorphic embedding into E of the semiring Ω equipped by the natural sum and product. Finally a notion of numerosity satisfying all Euclidean common notions is given, whose values are nonnegative nonstandard integers of E. Then E can be charachterized as the hyperreal field generated by the real numbers and together with the semiring of numerosities (and this explains the name Euclidean numbers).

연구 동기 및 목표

• 카르티언 기수 산술에서 위반되는 '전체는 부분보다 크다'는 유클리드의 다섯 번째 공통 개념을 유지하는 비아르키메데스 체를 개발하는 것 — 이는 표준 기수 산술에서 위반된다.
• 첫 번째 비가산 기수 Ω까지의 순서수 색인을 사용하여 실수의 초한합이 잘 정의되고 극한 기반으로 작동하는 체 𝔼를 구성하는 것.
• 각 집합이 순서수의 집합과 일대일 대응되며, 수량이 비표준 정수의 양의 부분반군을 이룬다는 조건에서 𝔼 기반의 수량 이론을 수립하는 것.
• 𝔼가 크기 Ω인 키슬러의 포화된 하이퍼실수 체와 동형임을 보이고, 따라서 유클리드 연속체에 자연스러운 모델을 제공하는 것.
• 𝔼가 딜레르트-완비 실수선보다 물리적 및 기하학적 맥락에서 연속성과 크기의 직관적 개념을 더 잘 모델링한다는 주장.

제안 방법

• 첫 번째 비가운 기수 Ω 이하의 순서수에 대해 초한합을 공리화하여, 실수열 (a_k)에 대해 ∑_{k∈Ω} a_k를 다섯 가지 자연스러운 공리로 정의한다.
• Ω 색인을 가진 수열의 극한 개념을 정의하여, 초한합이 유한 부분합의 극한으로서 작동하도록 한다.
• 각 순서수 α를 ∑_{k<α} 1로 식별함으로써 가용 순서수의 반군을 𝔼에 통합하여 자연스러운 순서수 연산 ⊕ 및 ⊙를 유지한다.
• Ω 위의 적절한 초근원수를 모듈로 한 극한 초곱을 통해 𝔼의 모델을 구성하여 포화성과 실수 폐쇄성을 확보한다.
• 모든 집합이 순서수의 집합과 일대일 대응되며, 값이 𝔼의 비표준 정수의 비음수 부분집합에 속하는 수량 함수를 정의한다.
• 𝔼가 크기 Ω인 포화된 실수 폐쇄 체로서 고유하며, 키슬러의 체와 동형이 되며, ℝ과 수량 반군으로 생성된다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초한합이 잘 정의되고 유한 부분합의 극한으로 작동하며, 동시에 순서수 산술의 구조를 유지하는 비아르키메데스 체를 구성할 수 있는가?
• RQ2 모든 무한집합이 순서수의 집합과 일대일 대응되며, 그 수량이 비표준 정수의 부분반군을 이뤄 전체 하이퍼정수 링을 생성하는 수량 이론이 존재하는가?
• RQ3 모든 다섯 개의 유클리드 공통 개념, 특히 '전체는 부분보다 크다'를 만족하는 체를 구성할 수 있는가? 표준 기수 산술과는 대조된다.
• RQ4 유클리드 수의 체 𝔼는 크기 Ω인 키슬러의 포화된 하이퍼실수 체와 동형이며, 초곱 또는 극한 초곱 방법으로 구성될 수 있는가?
• RQ5 첫 번째 비가운 기수 Ω를 색인 집합으로 사용하면, 딜레르트-완비 실수선보다 더 풍부하고 직관적인 유클리드 연속체 모델을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 체 𝔼는 크기 Ω의 포화된 실수 폐쇄 체이며, 키슬러의 하이퍼실수 체와 동형이 되며, 그 기수로 고유한 체이다.
• 모든 유클리드 수는 Ω 이하의 순서수를 색인으로 하는 실수의 초한합으로 나타나며, 이러한 합은 새로운 극한 개념 하에서 유한 부분합의 극한으로 정의된다.
• 가용 순서수는 1의 합으로 𝔼에 자연스럽게 통합되며, 자연스러운 순서수 연산 ⊕ 및 ⊙를 유지하여 𝔼가 순서수 반군의 자연스러운 확장임을 보여준다.
• 집합에 대한 수량 함수의 값은 𝔼의 음이 아닌 비표준 정수에 속하며, 모든 집합은 순서수의 집합과 일대일 대응되며, 모든 유클리드 공통 개념을 만족한다.
• 체 𝔼는 ℝ과 수량 반군으로 생성되며, 따라서 '유클리드 수'라는 이름이 유클리드 연속체의 기초 모델로 타당하다고 정당화된다.
• 𝔼에서 ∑_{k∈[0,ω)} 1/2^k = 2 − 1/2^{ω−1} 임을 보여, 길이의 무한합조차도 딜레르트 극한에 무한소로 다가서지 못할 수 있음을 보여주며, 이는 무한소가 물리적으로 구분 불가능하다는 사실을 반영한다.