[논문 리뷰] The Eudoxus Real Numbers

Rob Arthan|ArXiv.org|2004. 05. 24.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유도크소스의 비율 이론을 사용하여 실수를 새로운 방식으로 구성한다. 실수는 ℤ에서 ℤ로의 거의 준동형사상의 동치류로 표현되며, 핵심 기여는 유리수를 거치지 않고, 단지 초등 대수학과 덧셈 성질에서 벗어남의 유계성만을 사용하여 덧셈에 대한 실수의 군을 자그마한 원리에서 유도하는 것이다.

ABSTRACT

This note describes a representation of the real numbers due to Schanuel. The representation lets us construct the real numbers from first principles. Like the well-known construction of the real numbers using Dedekind cuts, the idea is inspired by the ancient Greek theory of proportion, due to Eudoxus. However, unlike the Dedekind construction, the construction proceeds directly from the integers to the real numbers bypassing the intermediate construction of the rational numbers. The construction of the additive group of the reals depends on rather simple algebraic properties of the integers. This part of the construction can be generalised in several natural ways, e.g., with an arbitrary abelian group playing the role of the integers. This raises the question: what does the construction construct? In an appendix we sketch some generalisations and answer this question in some simple cases. The treatment of the main construction is intended to be self-contained and assumes familiarity only with elementary algebra in the ring of integers and with the definitions of the abstract algebraic notions of group, ring and field.

연구 동기 및 목표

• 유도크소스의 비율 이론에 기반하여 유리수를 거치지 않고 실수를 첫 원리에서 구성하는 것.
• 정수에서 정수로의 거의 준동형사상의 동치류로 실수를 정의하여, 덧셈에서의 편차가 유계임을 조건으로 하는 것.
• 결과로 얻어진 구조, 즉 유도크소스 실수라고 불리는 것이 덧셈에 대해 실수의 덧셈군과 동형임을 증명하는 것.
• 이 구성 방식을 임의의 아벨 군으로 일반화하고, 구성의 대수적 성격을 명확히 하는 것.
• 이전 연구에서 잘못된 완비성 증명 등의 기초 문제를 해결하기 위해 정확하고 엄밀한 체계를 제공하는 것.

제안 방법

• 거의 준동형사상 f: ℤ → ℤ를 정의하여, f(p+q) - f(p) - f(q)의 편차 d_f(p,q)의 범위가 유계임을 조건으로 한다.
• 이러한 거의 준동형사상의 집합 S를 정의하며, 점별 덧셈에 대해 아벨 군을 이룬다.
• 유계 범위를 가진 함수들의 부분군을 B로 정의하고, 몫군 ℰ = S/B를 구성한다.
• 정수 함수의 floor 함수를 이용해 명시적인 동형사상을 구성함으로써 ℰ가 실수의 덧셈군과 동형임을 보인다.
• 양의 실수 x ∈ ℰ를 나타내기 위해 함수 ν_x(p) = ⌊p^𝔼 x⌋를 사용하며, x = sup{x} = [ν_x]임을 증명한다.
• 거의 준동형사상의 전역 성장 추정치를 사용하여 ℰ의 완비성을 입증한다. 즉, 공백이 아닌 유계 상한 집합은 최소 상한을 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수에서 유도크소스의 비율 이론만을 사용하여, 먼저 유리수를 구성하지 않고도 실수를 직접 구성할 수 있는가?
• RQ2 유도크소스 구성의 배경이 되는 대수적 구조는 무엇이며, 임의의 아벨 군으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 이전의 유도크소스 방법을 통한 실수 구성 시도가 왜 실패하는가, 특히 완비성 증명에서?
• RQ4 거의 준동형사상의 유한한 정보는 ℰ 내의 동치류 성질을 어떻게 추론할 수 있는가?
• RQ5 정규형은 어떻게 하여 유도크소스 구성의 효과성과 계산적 의미를 높이는가?

주요 결과

• 거의 준동형사상의 집합 S를 유계 함수의 부분군 B로 나눈 몫군 ℰ, 즉 유도크소스 실수는 덧셈에 대해 실수의 덧셈군과 동형이다.
• 이 구성은 자가 포함적이며, ℤ 위에서의 초등 대수학만을 요구하여, 유리수나 딜레인드 컷을 필요로 하지 않는다.
• 실수 x ∈ ℝ는 ν_x(p) = ⌊p^𝔼 x⌋로 정의되는 동치류 [ν_x]로 표현되며, 이 표현은 x = sup{x} = [ν_x]를 만족한다.
• 이 방법은 거의 준동형사상의 성장률에 대한 전역 추정치를 사용하여 ℰ의 완비성을 정확히 입증함으로써, 이전 연구에서의 오류를 수정한다.
• 아카르드의 결과에 따라, |d_f(x,y)| ≤ 1인 정규형이 자연스럽게 유도되며, 이는 계산 효율성을 향상시킨다.
• 유도크소스 구성은 이산적 세는 것(예: 기둥과 난간)과 연속적 크기 사이의 깊은 연결을 드러내며, 유도크소스의 원래 비율 이론을 반영한다.