[논문 리뷰] The Euler scheme for stochastic differential equations with discontinuous drift coefficient: A numerical study of the convergence rate

Simone Göttlich, Kerstin Lux외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 37인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 조각별로 일정한 기울기와 일정한 산란을 갖는 확률미분방정식(SDEs)에 대한 오일러 스킴의 수치 수렴성을 조사하며, 수렴 속도가 기울기 계수의 성질과 초기 조건에 따라 결정됨을 보여준다. 내측을 향하는 기울기의 경우, 에르고딕성 덕분에 안정적이고 고차수의 수렴이 발생하는 반면, 외측을 향하는 기울기의 경우 수렴 추정치가 신뢰할 수 없고, 이를 랭크 기반 주식시장 모델을 통해 검증한다.

ABSTRACT

The Euler scheme is one of the standard schemes to obtain numerical approximations of stochastic differential equations (SDEs). Its convergence properties are well-known in the case of globally Lipschitz continuous coefficients. However, in many situations, relevant systems do not show a smooth behavior, which results in SDE models with discontinuous drift coefficient. In this work, we will analyze the long time properties of the Euler scheme applied to SDEs with a piecewise constant drift and a constant diffusion coefficient and carry out intensive numerical tests for its convergence properties. We will emphasize on numerical convergence rates and analyze how they depend on properties of the drift coefficient and the initial value. We will also give theoretical interpretations of some of the arising phenomena. For application purposes, we will study a rank-based stock market model describing the evolution of the capital distribution within the market and provide theoretical as well as numerical results on the long time ranking behavior.

연구 동기 및 목표

• 불연속(조각별 일정) 기울기 계수를 갖는 SDEs에 대한 오일러 스킴의 수치 수렴 행동을 분석하기.
• 기울기 계수 성질(내측/외측 방향, 점프 높이 등)이 수렴 속도에 어떻게 영향을 미치는지 조사하기.
• 초기 값이 불연속 기울기가 존재하는 상황에서 수렴 안정성과 정확성에 미치는 영향을 검토하기.
• 장기적인 랭킹 역학과 점유율을 중심으로, 랭크 기반 주식시장 모델을 사용하여 이론적 발견을 검증하기.
• 불규칙한 계수의 맥락에서 오일러 스킴과 고차수 스킴을 비교하여 수치 성능 평가하기.

제안 방법

• 조각별 일정한 기울기와 가감성 노이즈를 갖는 시간 이산화된 SDEs에 대해 오일러 스킴을 적용하며, $ dX_t = \sum_{j=1}^s \alpha_j \mathbbm{1}_{B_j}(X_t) dt + \sigma dW_t $ 로 정의된다.
• 참고 해를 $ \Delta = 2^{-14} $의 미세한 시간 간격을 사용해 구하고, 더 넓은 간격에서의 근사치와 비교하여 수치 수렴 속도를 추정한다.
• 특히 내측을 향하는 기울기의 경우 장기적 안정성이 나타나므로, 마코프 체인 이론을 활용해 오일러 스킴의 에르고딕성을 분석한다.
• 장기적인 자본 분포와 점유율을 연구하기 위해 오일러 스킴을 사용해 랭크 기반 주식시장 모델을 시뮬레이션한다.
• M = 10^3회의 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 이산 점유율을 추정하고, 이를 분석적 점근값과 비교한다.
• 고차수 스킴(예: 밀스타인 유형)을 시험했지만, 불연속 기울기의 경우 수렴 행동 향상이 관찰되지 않았다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조각별 일정한 기울기와 일정한 산란을 갖는 SDEs에 대한 오일러 스킴의 경험적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 기울기 계수 성질(특히 내측 대비 외측 방향)이 수치 수렴 추정의 안정성과 정확성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 불연속 기울기가 존재하는 상황에서 초기 값은 관측된 수렴 속도에 어느 정도 영향을 미치는가?
• RQ4 오일러 스킴은 랭크 기반 주식시장 모델에서 장기적인 랭킹 행동을 얼마나 잘 캡처하는가?
• RQ5 불연속 기울기 계수를 갖는 SDEs에 대해 고차수 수치 스킴이 오일러 스킴을 능가하는가?

주요 결과

• 내측을 향하는 기울기 계수의 경우, 기반 SDE와 그 근사의 에르고딕성 덕분에 초기 조건과 무관하게 안정적이고 고차수의 수치 수렴 속도를 보인다.
• 외측을 향하는 기울기의 경우 수렴 속도가 불안정하고 안정화되지 않으며, 수치 실험에서 명확한 점근적 영역에 도달하지 못한다.
• 랭크 기반 주식시장 모델에서의 이산 점유율은 시간 영역 T가 증가함에 따라 분석적 점근값 $ 1/d = 1/3 $에 수렴하며, 초기 자본화가 덜 변동성이 있는 경우 수렴 속도가 더 빠르다.
• 시간 간격 $ \Delta = 2^{-14} $일 때 이산 점유율은 네 자리까지 정확하며, $ \Delta = 2^{-10} $일 때 90개의 점유율 중 다섯 번째 자릿수에서 한 개만 다를 뿐이므로, 더 이상 시간 간격을 세밀하게 조정해도 성과 향상이 없음을 시사한다.
• 밀스타인 유형과 같은 고차수 스킴은 불연속 기울기의 경우 수렴 행동을 향상시키지 못하므로, 단순함에도 불구하고 오일러 스킴이 실용적인 선택임을 시사한다.
• 분석적 점유율에서의 제곱편차 합은 초기 $ Y(0) $의 0.2116에서 $ T=1000 $일 때 0.0001로 감소하여 이론적 극한으로 수렴하는 것을 확인한다.