[논문 리뷰] The evolution fractional p-Laplacian equation in $\mathbb{R}^N$. Fundamental solution and asymptotic behaviour

Juan Luís Vázquez|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 13.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 31인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^N$에서 $p>2$ 및 $s\in(0,1)$인 진화 분수형 p-라플라스 방정식의 잘 정의됨을 확립하고, 각 질량 $M$에 대해 자가유사 기본 해를 구성하며, 모든 유한 질량 해가 $t\to\infty$일 때 모든 $L^q$ 노름에서 이 기본 해로 수렴함을 증명하여, 적분 가능 초기 자료의 클래스에 대해 이 기본 해가 점점 가까워지는 점근적 흡인자임을 규명한다.

ABSTRACT

We consider the natural time-dependent fractional $p$-Laplacian equation posed in the whole Euclidean space, with parameters $p>2$ and $s\in (0,1)$ (fractional exponent). We show that the Cauchy Problem for data in the Lebesgue $L^q$ spaces is well posed, and show that the solutions form a family of non-expansive semigroups with regularity and other interesting properties. As main results, we construct the self-similar fundamental solution for every mass value $M,$ and prove that general finite-mass solutions converge towards that fundamental solution having the same mass in all $L^q$ spaces.A number of additional properties and estimates complete the picture.

연구 동기 및 목표

• 진화 분수형 p-라플라스 방정식의 초기값 문제에 대한 잘 정의됨을 $\mathbb{R}^N$에서 $p>2$ 및 $s\in(0,1)$ 조건 하에 확립한다.
• 디랙 델타 초기 자료에 대응하는 각 질량 $M$에 대해 자가유사 기본 해를 구성한다.
• 일반적인 유한 질량 해가 $t\to\infty$일 때 동일한 질량을 가진 기본 해로 모든 $L^q$ 공간에서 수렴함을 증명한다.
• 해의 정규성, 비확장성 반군 성질 및 장기적 점근적 행동을 분석한다.

제안 방법

• 주어진 주의적 적분을 통한 정의된 비국소 에너지 함수 $\mathcal{J}_{p,s}(u)$와 그 하위미분 $\mathcal{L}_{s,p}$, 즉 $s$-분수형 $p$-라플라스 연산자 사용.
• $L^q(\mathbb{R}^N)$ 공간에서의 경사 하강 흐름 이론을 적용하여, 초기 자료가 $L^1(\mathbb{R}^N)$에 속할 경우 해의 존재성과 유일성을 보인다.
• 스케일 불변성과 프로파일 방정식 유도를 통한 자가유사 해의 구성.
• 비교 원리와 에너지 추정을 사용하여 $1\leq q\leq\infty$인 $L^q$ 노름에서의 수렴을 확립한다.
• 선형 분수형 경우($p=2$) 및 고전적 $p$-라플라스 연산자($s=1$)의 기존 결과를 기준점으로 활용한다.
• F. del Teso의 수치 계산은 기본 해의 점근적 감쇠 행동과 꼬리 추정치를 지지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 진화 분수형 p-라플라스 방정식이 $p>2$ 및 $s\in(0,1)$일 때, 초기 자료가 $L^1(\mathbb{R}^N)$에 속할 경우 잘 정의된 초기값 문제를 갖는가?
• RQ2 초기 자료가 디랙 델타일 경우 각 질량 $M$에 대해 자가유사 기본 해를 구성할 수 있는가?
• RQ3 모든 유한 질량 해가 $t\to\infty$일 때 동일한 질량을 가진 기본 해로 $L^q$ 노름에서 수렴하는가?
• RQ4 해의 정밀한 점근적 행동, 특히 감쇠 속도와 꼬리 추정치는 어떻게 되는가?
• RQ5 $1<p<2$인 경우와 $p>2$인 경우의 이론적 차이는 무엇이며, 특히 존재성과 점근적 행동 측면에서 어떻게 다를까?

주요 결과

• 진화 분수형 p-라플라스 방정식의 초기값 문제는 모든 $L^q(\mathbb{R}^N)$ 공간에서 잘 정의되어 있으며, 해 매핑은 비확장성 반군을 이룬다.
• 모든 질량 $M>0$에 대해 자가유사 기본 해가 존재하며, 스케일 불변성과 프로파일 방정식 분석을 통해 구성된다.
• $t\to\infty$일 때 모든 유한 질량 해는 동일한 질량을 가진 기본 해로 모든 $1\leq q\leq\infty$인 $L^q$ 노름에서 수렴한다.
• 기본 해는 무한대에서 거듭제곱 법칙에 따라 감쇠하며, 수치적 증거에 따르면 점근적 행동이 $F(x)\sim C|x|^{-(N+sp)}$로 나타난다.
• 자기유사 기본 해의 유일성은 입증되었지만, 일반적인 기본 해의 유일성은 열려 있다.
• 점근적 수렴 결과는 모든 $q$에 대해 일관되게 $L^q$에서 성립하여, 기본 해가 강한 흡인자 행동을 보임을 시사한다.