[논문 리뷰] The evolution of unavoidable bi-chromatic patterns and extremal cases of balanceability

Yair Caro, Adriana Hansberg외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 08.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 완전 그래프 $K_n$에서 두 색상으로 칠해진 간선 패턴의 피할 수 없는 성격을 최소한의 간선 수에 따라 분석한다. 이는 간선 수에 제한이 없을 때(람지 유형)부터 균형 잡힌 색칠($|e(R)-e(B)|\leq1$)에 이르기까지의 범위를 포함한다. 각 색상에 선형적으로 많은 간선이 존재할 경우, 유도된 단색 별 또는 매칭이 피할 수 없게 되며, 더 추가적인 제약(예: 큰 유도된 매칭 금지)이 있을 경우, 극단적인 패턴이 더 일찍 나타나며, 이는 균형 수($\operatorname{bal}(n,G)$)에 응용된다. 이 균형 수는 그래프 $G$에 따라 $\Omega(n^{2-\varepsilon})$까지 클 수 있거나 상수 수준까지 낮아질 수 있다. 결과는 다색 람지 설정으로도 확장되며, 유사한 피할 수 없는 구조를 포함한다.

ABSTRACT

We study the color patterns that, for $n$ sufficiently large, are unavoidable in $2$-colorings of the edges of a complete graph $K_n$ with respect to $\min \{e(R), e(B)\}$, where $e(R)$ and $e(B)$ are the numbers of red and, respectively, blue edges. More precisely, we determine how such unavoidable patterns evolve from the case without restriction in the coloring, namely that $\min \{e(R), e(B)\} \ge 0$ (given by Ramsey's theorem), to the highest possible restriction, namely that $|e(R) - e(B)| \le 1$. We also investigate the effect of forbidding certain sub-structures in each color. In particular, we show that, in $2$-colorings whose graphs induced by each of the colors are both free from an induced matching on $r$ edges, the appearance of the unavoidable patterns is already granted with a much weaker restriction on $\min \{e(R), e(B)\}$. We finish analyzing the consequences of these results to the balancing number $bal(n,G)$ of a graph $G$ (i.e. the minimum $k$ such that every $2$-edge coloring of $K_n$ with $\min \{e(R), e(B)\} > k$ contains a copy of $G$ with half the edges in each color), and show that, for every $\varepsilon > 0$, there are graphs $G$ with $bal(n,G) \ge c n^{2-\varepsilon}$, which is the highest order of magnitude that is possible to achieve, as well as graphs where $bal(n,G) \le c(G)$, where $c(G)$ is a constant that depends only $G$. We characterize the latter ones.

연구 동기 및 목표

• 각 색상의 최소 간선 수에 따라 $K_n$에서 피할 수 없는 이색 간선 색칠 패턴을 규명하는 것.
• 고전적인 람지 설정에서부터 $|e(R)-e(B)|\leq1$인 완전히 균형 잡힌 경우까지 이러한 피할 수 없는 패턴이 어떻게 변화하는지 조사하는 것.
• 지정된 크기의 유도된 단색 매칭을 금지할 경우, 피할 수 없는 패턴의 등장에 어떤 영향을 미치는지 분석하는 것.
• 균형 수 $\operatorname{bal}(n,G)$의 극단적 행동을 규명하며, 이 수가 $G$에 따라 $\Omega(n^{2-\varepsilon})$까지 클 수 있거나 상수 수준까지 낮아질 수 있음을 보여주는 것.
• 각 색상 클래스에 선형 수의 간선이 존재하고 특정 유도된 부분그래프를 피할 경우, 다색 간선 색칠 설정에서 나타나는 피할 수 없는 단색 구조를 분석하는 것.

제안 방법

• 최소한의 간선 수 $\min\{e(R),e(B)\}$에 기반하여 $K_n$의 2간선 색칠에서 피할 수 없는 패턴을 분석하기 위해 람지 이론 및 투란 유형의 극단적 그래프 이론을 사용한다.
• 색상 클래스 내의 클리크 간에 단색 완전 이분 그래프 부분그래프를 유도하기 위해 이분 람지 수 $BR(k;t)$를 적용한다.
• 정점 집합의 재귀적 구성 기법을 사용하여 단색 클리크 및 이분 구조를 분리하고, 사전에 정의된 유형의 유도된 부분그래프를 보장한다.
• 다양한 클리크가 단색으로 연결된 다색 구성 구조를 기술하기 위해 $\mathcal{F}^k_t$ 가족의 개념을 도입한다.
• 정리 2.9에서 유도된 상수 $c(t) = C(q,q)$를 사용하여 각 색상 클래스 내에서 단색 유도된 $K_{1,q}$ 또는 $qK_2$를 보장한다.
• 에르되시-헤이널 유형의 프레임워크를 통해, 크기 $t$의 유도된 매칭을 금지할 경우 선형 간선 임계값에서 피할 수 없는 패턴이 유도됨을 보여주는 극한 경계를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한의 간선 수 $\min\{e(R),e(B)\}$가 $n$에 대해 선형일 경우, $K_n$의 2간선 색칠에서 어떤 이색 패턴이 피할 수 없게 되는가?
• RQ2 피할 수 없는 패턴은 간선 수가 불균형한 경우(람지 설정)에서부터 $|e(R)-e(B)|\leq1$인 완전히 균형 잡힌 경우로 어떻게 변화하는가?
• RQ3 크기 $t$의 유도된 단색 매칭을 금지할 경우, 피할 수 없는 색칠 패턴의 등장에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 어떤 그래프 $G$에 대해 균형 수 $\operatorname{bal}(n,G)$가 상수로 유 bounds 되며, 어떤 그래프에 대해서는 $\Omega(n^{2-\varepsilon})$가 되는가?
• RQ5 각 색상 클래스에 선형 수의 간선이 존재하고 특정 유도된 부분그래프를 피할 경우, 다색 일반화된 피할 수 없는 패턴은 어떤 형태로 나타나는가?

주요 결과

• 최소한의 간선 수 $\min\{e(R),e(B)\} = \Omega(n)$일 경우, 각 색상 클래스에서 유도된 단색 별 $K_{1,t}$ 또는 유도된 매칭 $tK_2$가 피할 수 없게 된다.
• 각 색상에서 크기 $t$의 유도된 매칭을 금지할 경우, 피할 수 없는 패턴이 $\min\{e(R),e(B)\} = \Omega(n)$에서 이미 나타나며, $\Omega(n^{2-\varepsilon})$ 간선이 필요로 하는 것보다 이르게 발생한다.
• 균형 수 $\operatorname{bal}(n,G)$는 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 $\operatorname{bal}(n,G) = \Omega(n^{2-\varepsilon})$를 만족하며, 이는 가능한 최고의 주기수임을 보여준다.
• 일부 그래프 $G$에 대해서는 $\operatorname{bal}(n,G) \leq c(G)$를 만족하며, 여기서 $c(G)$는 $G$에만 의존하는 상수이며, 이러한 그래프는 색상 클래스에서 큰 유도된 매칭을 피하는 것으로 특징지어진다.
• $\min\{|f^{-1}(i)|\} \geq c(k,r,t)$를 만족하는 $k$-색칠에서, $K_{1,t}$ 또는 $tK_2$를 포함하는 색상의 집합 $A_f$는 공집합이 아니며, 나머지 색상들은 $A_f$의 색상으로 단색으로 연결된 클리크를 형성하며, 이는 $K_{t,t}$ 유사한 구조를 이룬다.
• 피할 수 없는 패턴의 극한 임계값은 뚜렷하다: 각 색상에 $\Omega(n)$의 간선만 존재할 경우, $K_{1,t}$ 또는 $tK_2$는 반드시 유도된 부분그래프로 나타나며, 선형 이하의 간선 수에서는 이러한 보장이 성립하지 않는다.