[논문 리뷰] The exact asymptotic for the stationary distribution of some unreliable systems

Paweł Lorek|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 23.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 고장 가능 큐잉 시스템에 대한 정적 분포의 정확한 渐近적 행동을 유도한다: 고장 가능 M/M/1 큐와 한 명의 고장 가능 서버 및 피드백이 있는 이중 서버 시스템. 마코프 추가 과정과 Adan, Foley, McDonald의 방법을 사용하여 서비스 및 도착률에 따라 두 가지 다른 대규모 편차 영역을 규명하며, 시뮬레이션을 통해 고객의 축적 현상이 시스템 매개변수에 따라 서버가 가동 중이거나 정지 중일 때 발생하는 것으로 확인된다.

ABSTRACT

In this paper we find asymptotic distribution for some unreliable networks. Using Markov Additive Structure and Adan, Foley, McDonald method, we find the exact asymptotic for the stationary distribution. With the help of MA structure and matrix geometric approach, we also investigate the asymptotic when breakdown intensity is small. In particular, two different asymptotic regimes for small breakdown intensity suggest two different patterns of large deviations, which is confirmed by simulation study.

연구 동기 및 목표

• 마코프 조절 행동을 갖는 고장 가능 큐잉 시스템에 대한 정적 분포의 정확한 渐近적 형태를 도출하기.
• 고장 강도가 고객 축적의 대규모 편차에 미치는 영향을 분석하여, 가동 상태 또는 정지 상태가 큐 증가를 주도하는 영역을 구분하기.
• 이전의 渐近적 결과가 제한적인 고장 가능 서버를 갖는 시스템에 대해 Adan-Foley-McDonald 방법을 확장하기.
• 단일 고장 가능 서버 모델과 피드백이 있는 이중 서버 시스템을 비교하기.
• 이론적 결과를 시뮬레이션을 통해 검증하여, 시스템 매개변수에 따라 다릅니다.

제안 방법

• 큐 길이와 서버 상태(가동/정지)의 동시 역학을 모델링하기 위해 마코프 추가 과정(MAP) 프레임워크를 적용하기.
• 다양한 매개변수 영역에서 정적 분포의 渐近적 행동을 분석하기 위해 h-변환과 페인만-카크 커널을 사용하기.
• Adan-Foley-McDonald 방법이 실패하는 경우, 특히 고장 강도 α → 0 일 때의 극한 시스템을 분석하기 위해 행렬 기하학적 접근법(네츠)을 활용하기.
• 균형 방정식을 풀고 생성함수 및 스펙트럼 분석을 통해 감쇠율을 분석하여 정적 확률에 대한 정확한 渐近적 표현을 유도하기.
• 모델 2와 손실 영역 시스템(Sauer와 Daduna) 간의 커플링을 구성하여 조화 함수를 유계화하고 적분 가능성 조건을 검증하기.
• 손실 영역에서의 확률적 지배관계와 제품형 정적 분포를 이용하여 핵심 적분 가능성 조건(5)을 검증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고장 가능 M/M/1 큐의 정적 분포는 큐 길이가 증가함에 따라 어떻게 渐近적으로 행동하는가?
• RQ2 고장 가능 시스템에서의 대규모 편차 패tern은 무엇이며, 서비스 속도 μ와 도착률 및 복구 속도의 합 λ+β 간의 관계에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 μ > λ + β 일 때 Adan-Foley-McDonald 방법이 극한 시스템에 대해 타당한 渐近적 결과를 도출하지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ4 피드백이 있는 이중 서버 고장 가능 시스템에서 피드백의 존재는 단일 고장 가능 서버 시스템과 비교해 정적 분포의 渐近적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 h-변환 방법이 실패하는 상황에서도 행렬 기하학적 접근법이 M/M/1 큐의 극한 경우와 동일한 渐近적 형태를 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 모델 1(고장 가능 M/M/1)에서 μ < λ + β 일 때, 정적 분포는 M/M/1 큐와 동일한 방식으로 감쇠하며, 대규모 편차는 주로 긴 가동 기간 동안의 고객 축적에 의해 유도된다.
• μ > λ + β 일 때도 정적 분포는 여전히 M/M/1과 유사하게 감쇠하지만, 대규모 편차는 서버가 고장 났을 때 고객이 축적되는 긴 정지 기간에 의해 주로 결정된다.
• 모델 2(피드백이 있는 이중 서버 시스템)에서는 Adan-Foley-McDonald 방법이 극한 시스템에 대해 타당한 渐近적 결과를 도출하지 못하며, 기하학적 복잡성으로 인해 행렬 기하학적 방법도 적용 불가능하다.
• 渐近적 분석에서 사용된 조화 함수는 가동 상태에서는 (λ/μ)^y γ₁^y 로 증가하고, 정지 상태에서는 (λ/μ)^y γ₁^k 로 증가하며, γ₁ < 1 이므로 적분 가능성 보장된다.
• 조화 함수의 적분 가능성 조건(5)은 모델 2를 손실 영역 시스템과 커플링하여 검증되었으며, 이는 모델 2의 정적 분포가 제품형 시스템의 정적 분포에 의해 확률적 지배를 받음을 보여준다.
• 시뮬레이션 결과는 두 가지 다른 대규모 편차 패턴을 확인하였다: μ < λ + β 일 경우는 가동 상태에서의 큐 축적에 의해 주도되고, μ > λ + β 일 경우는 정지 상태에서의 축적에 의해 주도된다.