[논문 리뷰] The existence of Zariski dense orbits for endomorphisms of projective surfaces (with an appendix in collaboration with Thomas Tucker)

Junyi Xie|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 49인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄럽고 사영적인 표면의 전행적 자기사상에 대해 자르스키 조밀 궤도 추측을 증명한다: 만약 사상에 대해 비상수 유리 함수가 불변이 아니면, 자르스키 조밀 궤도가 존재한다. 저자들은 자르스키 위상보다 더 강한 위상인 아델 위상을 도입하고, 이 추측의 양적이고 아델적인 버전을 증명하여 표면, 아벨 다양체, 그리고 분해 가능한 다항식 사상에 대해 이를 확립한다. 주요 부록에서는 프로젝티브 직선의 곱에 대한 추측을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we prove the following theorem. Let $f$ be a dominant endomorphism of a smooth projective surface over an algebraically closed field of characteristic $0$. If there is no nonconstant invariant rational function under $f$, then there exists a closed point whose orbit under $f$ is Zariski dense. This result gives us a positive answer to the Zariski dense orbit conjecture proposed by Medvedev and Scanlon, by Amerik, Bogomolov and Rovinsky, and by Zhang, for endomorphisms of smooth projective surfaces. Moreover, we define a new canonical topology on varieties over an algebraically closed field which has finite transcendence degree over $\mathbb{Q}$. We call it the adelic topology. The adelic topology is stronger than the Zariski topology and an irreducible variety is still irreducible in this topology. Using the adelic topology, we propose an adelic verison of the Zariski dense orbit conjecture. This version is stronger then the original one and it quantifies how many such orbits there are. We also proved this adelic version for endomorphisms of smooth projective surfaces. Moreover, we proved the adelic verison of the Zariski dense orbit conjecture for endomorphisms of abelian varieties and split polynomial maps. This yields new proofs for the original version in this two cases. In Appendix A, we study the endomorphisms on the $k$-affinoid spaces. We show that for certain endomorphism $f$ on a $k$-affinoid space $X$, the attractor $Y$ of $f$ is a Zariski closed subset and the dynamics of $f$ semi-conjugates to its restriction on $Y.$ A special case of this result is used in the proof of the main theorem. In Appendix B, written in collaboration with Thomas Tucker, we prove the Zariski dense orbit conjecture for endomorphisms of $(\mathbb{P}^1)^N.$

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄럽고 사영적인 표면의 전행적 자기사상에 대해 자르스키 조밀 궤도 추측을 해결하는 것.
• 유리수 체를 통해 유한 추이도수를 갖는 체 위의 다양체에 대해 자르스키 위상보다 더 강한 아델 위상을 도입하고, 이 위상에서 기약성은 유지된다는 것을 개발하는 것.
• 자르스키 조밀 궤도 추측의 아델 버전을 제안하고 증명하여, 자르스키 조밀 궤도의 다수성을 정량화하는 것.
• 아벨 다양체와 분해 가능한 다항식 사상의 경우, 아델 프레임워크를 통해 원래 추측에 대한 새로운 증명을 제공하는 것.
• k-아핀ويد 공간에서의 자기사상 동역학에 대한 기본 결과를 확립하여 주 증명에 활용하는 것.

제안 방법

• Q에 대한 유한 추이도수를 갖는 체 위의 다양체에 대해 아델 일반 점과 기본 아델 부분집합을 통해 정의된 아델 위상을 도입하는 것.
• 아델 위상을 사용하여 자르스키 조밀 궤도 추측의 더 강력한 버전을 정의하고, 임의의 자르스키 열린 집합 U에 대해, 궤도가 U에 있고 X에 대해 자르스키 조밀한 점이 존재한다는 것을 주장하는 것.
• 매끄럽고 사영적인 표면의 자기사상에 대해, 비상수 유리 함수가 f-불변이 아니면 자르스키 조밀 궤도가 존재함을 증명하는 것.
• 강화된 자기사상 이론과 고정점에서의 국소 동역학을 사용하여 불변 근방을 구성하고 궤도 폐쇄 행동을 분석하는 것.
• 부록 A의 k-아핀ويد 동역학 결과를 적용하여, k-아핀ويد 공간에서의 자기사상의 흡인자는 자르스키 닫혀져 있고, 동역학이 그 제한과 반순서적임을 보이는 것.
• 부록 B의 토머스 타커와의 공동 연구를 활용하여 (P^1)^N의 자기사상에 대해 추측의 아델 버전을 증명하고, 비예외적 및 라티스 유형 사상의 성질을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄럽고 사영적인 표면의 전행적 자기사상이 비상수 유리 함수를 불변으로 갖지 않으면, 항상 자르스키 조밀 궤도를 갖는가?
• RQ2 자르스키 조밀 궤도 추측은 모든 자르스키 열린 부분집합에서 그러한 궤도의 존재를 보장하는 아델 버전으로 강화될 수 있는가?
• RQ3 아델 위상은 대수적 동역학에서 동역학적 조밀성과 기약성을 포착하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 k-아핀ويد 공간에서의 자기사상 동역학은 사영 다양체 위의 전반적 동역학과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 분해 가능한 다항식 사상이 (P^1)^N에 대해 아델 버전의 자르스키 조밀 궤도 추측을 만족하는가?

주요 결과

• 비상수 f-불변 유리 함수가 없는 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄럽고 사영적인 표면의 전행적 자기사상에 대해 자르스키 조밀 궤도 추측이 성립한다.
• Q에 대한 유한 추이도수를 갖는 체 위의 다양체에 대해 아델 위상은 잘 정의되어 있으며, 자르스키 위상보다 더 강하고, 기약성은 유지된다.
• 매끄럽고 사영적인 표면, 아벨 다양체, (P^1)^N 위의 분해 가능한 다항식 사상에 대해 자르스키 조밀 궤도 추측의 아델 버전이 증명된다.
• (P^1)^N의 자기사상에 대해, 인도크션을 통해 인자 수에 대해 증명하고, 모든 2중 프로젝션에서 자르스키 조밀 궤도를 갖는 비어 있지 않은 아델 열린 집합의 존재를 이용한다.
• k-아핀ويد 공간에서의 자기사상의 흡인자는 자르스키 닫혀져 있고, 동역학은 그 제한과 반순서적임이 보여지며, 이 결과는 주 증명에서 사용된다.
• 아벨 다양체와 분해 가능한 다항식 사상의 원래 자르스키 조밀 궤도 추측에 대한 새로운 증명을 제공하며, 이를 위해 먼저 더 강력한 아델 버전을 증명한다.