[논문 리뷰] The explicit formula for solution of anomalous diffusion equation in the multi-dimensional space

D. K. Durdiev, Elina Shishkina외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 20.

Differential Equations and Numerical Methods인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 라플라스 및 푸리에 변환을 사용하여, 허가임-카푸토 분수도함수를 갖는 n차원 비정상 확산 방정식에 대해 명시적인 해석적 해를 유도한다. 분수도함수를 갖는 확산 방정식과 미타그레플레르 핵을 갖는 포물형 적분미분방정식 간의 등가성을 보여줌으로써, 해는 프라바카르 분수적 적분과 팩스 H-함수를 통해 표현되며, 무한 도메인에서의 초기경계값 문제에 대해 닫힌 형태의 표현을 제공한다.

ABSTRACT

This paper intends on obtaining the explicit solution of $n$-dimensional anomalous diffusion equation in the infinite domain with non-zero initial condition and vanishing condition at infinity. It is shown that this equation can be derived from the parabolic integro-differential equation with memory in which the kernel is $t^{-\\alpha}E_{1-\\alpha, 1-\\alpha}(-t^{1-\\alpha}),\\alpha\\in(0, 1),$ where $E_{\\alpha, \\beta}$ is the Mittag-Liffler function. Based on Laplace and Fourier transforms the properties of the Fox H-function and convolution theorem, explicit solution for anomalous diffusion equation is obtained.

연구 동기 및 목표

• 무한 도메인에서의 초기경계값 문제에 대해, 초기 조건이 0이 아니고 무한에서 경계 조건이 0인 n차원 비정상 확산 방정식에 대해 명시적인 해석적 해를 유도하는 것.
• 시간 분수도함수를 갖는 확산 방정식과 미타그레플레르 함수를 포함하는 기억 핵을 갖는 포물형 적분미분방정식 간의 등가성을 확립하는 것.
• 라플라스 및 푸리에 변환을 조합하고 콘볼루션 정리를 적용하여 특수함수를 통해 닫힌 형태의 해를 도출하는 것.
• 프라바카르 분수적 적분과 팩스 H-함수를 사용하여 해를 압축되고 해석적으로 다룰 수 있는 형태로 표현함으로써, 복잡한 매질에서의 비정상 확산을 분석하는 것.

제안 방법

• 비정상 확산에서 시간의 국소적이지 않은 성질을 모델링하기 위해 게라시모프-카푸토 분수도함수를 사용하는 것.
• 시간에 대한 라플라스 변환과 공간에 대한 푸리에 변환을 통해 문제를 분리시키는 것.
• 분수도함수와 기억 핵으로 인해 발생하는 적분항을 다루기 위해 콘볼루션 정리를 적용하는 것.
• 라플라스 변환 기법을 사용하여 기억 적분방정식의 복원핵을 유도하는 것.
• 기억 핵을 $ t^{-\beta} E_{1-\beta,1-\beta}(-t^{1-\beta}) $로 식별하며, 여기서 $ \beta = \alpha $ 이며, 이는 미타그레플레르 함수와 연결됨.
• 역 변환의 역산을 통해 최종 해를 팩스 H-함수와 프라바카르 적분 연산자로 표현하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허가임-카푸토 분수도함수를 갖는 n차원 비정상 확산 방정식에 대해 명시적인 해석적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ2 비정상 확산 방정식은 어떤 방식으로 미타그레플레르 핵을 갖는 포물형 적분미분방정식과 관련이 있는가?
• RQ3 라플라스 및 푸리에 변환은 이러한 분수도함수를 갖는 편미분방정식의 닫힌 형태 해를 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 팩스 H-함수와 프라바카르 적분은 어떻게 압축되고 해석적으로 다룰 수 있는 형태로 해를 표현하는 데 기여하는가?

주요 결과

• f(x,t) = 0 인 n차원 비정상 확산 방정식의 해는 팩스 H-함수와 프라바카르 분수적 적분 연산자를 통해 명시적으로 주어진다.
• 핵이 $ t^{-\beta} E_{1-\beta,1-\beta}(-t^{1-\beta}) $인 적분미분방정식은 게라시모프-카푸토 도함수를 갖는 시간 분수도함수 확산 방정식과 수학적으로 등가이다.
• 복원핵의 역 라플라스 변환은 $ r(t) = t^{-\beta}/\Gamma(1-\beta) $ 를 얻으며, 이는 분수적 미적분학과의 연결을 확인한다.
• 해는 초기 조건 $ u(x,0) = g(x) $ 와 공간에서의 무한에서의 값이 0이 되는 경계 조건을 만족한다.
• 최종 해는 팩스 H-함수를 포함하는 급수 형태로 표현되며, $ G(x,t) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|x|^n} \sum_{j=0}^\infty \frac{(-t^{1-\alpha})^j}{j!} \left[ H_{2,0}^{1,2}(...) + H_{2,0}^{1,2}(...) \right] $ 로 기술된다.