[논문 리뷰] The exponentiated Hencky-logarithmic strain energy. Part I: Constitutive issues and rank-one convexity

Patrizio Neff, Ionel‐Dumitrel Ghiba외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Elasticity and Material Modeling참고 문헌 191인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 로그 변형률 텐서 log U를 사용하여 체적 및 등체적 반응을 분리하는 지수화된 헨크리-로그 변형률 에너지 함수 WeH를 제안한다. 평면 탄성정적 문제(n=2)에서 k ≥ 1/4 및 bk ≥ 1/8 조건을 만족할 경우 WeH는 전역적으로 1차 축소가 볼록함을 증명하며, 유한 탄성에서 핵심적인 볼록성 및 안정성 문제를 해결하기 위해 유한 변형 영역 내에서 코시 응력-변형률 관계의 역행성과 단조성도 확립한다.

ABSTRACT

We investigate a family of isotropic volumetric-isochoric decoupled strain energies $$ F\mapsto W_{_{ m eH}}(F):=\widehat{W}_{_{ m eH}}(U):=\left\{\begin{array}{lll} \fracμ{k}\,e^{k\,\|{ m dev}_n\log {U}\|^2}+\fracκ{2\, {\widehat{k}}}\,e^{\widehat{k}\,[{ m tr}(\log U)]^2}& ext{if}& { m det} F>0,\\ +\infty & ext{if} &{ m det} F\leq 0, \end{array} ight.\quad $$ based on the Hencky-logarithmic (true, natural) strain tensor $\log U$, where $μ>0$ is the infinitesimal shear modulus, $κ=\frac{2μ+3λ}{3}>0$ is the infinitesimal bulk modulus with $λ$ the first Lamé constant, $k,\widehat{k}$ are dimensionless parameters, $F= abla φ$ is the gradient of deformation, $U=\sqrt{F^T F}$ is the right stretch tensor and ${ m dev}_n\log {U} =\log {U}-\frac{1}{n} { m tr}(\log {U})\cdot 1\!\!1$ is the deviatoric part of the strain tensor $\log U$. For small elastic strains, $W_{_{ m eH}}$ approximates the classical quadratic Hencky strain energy $$ F\mapsto W_{_{ m H}}(F):=\widehat{W}_{_{ m H}}(U):=μ\,\|{ m dev}_n\log U\|^2+\fracκ{2}\,[{ m tr}(\log U)]^2, $$ which is not everywhere rank-one convex. In plane elastostatics, i.e. $n=2$, we prove the everywhere rank-one convexity of the proposed family $W_{_{ m eH}}$, for $k\geq \frac{1}{4}$ and $\widehat{k}\geq \frac{1}{8}$. Moreover, we show that the corresponding Cauchy (true)-stress-true-strain relation is invertible for $n=2,3$ and we show the monotonicity of the Cauchy (true) stress tensor as a function of the true strain tensor in a domain of bounded distortions. We also prove that the rank-one convexity of the energies belonging to the family $W_{_{ m eH}}$ is not preserved in dimension $n=3$.

연구 동기 및 목표

• 유한 탄성에서 필수적인 타원성 조건을 위반하는 고전적 이차 헨크리 에너지의 1차 축소가 볼록하지 않은 점을 해결한다.
• 큰 변형에서 더 나은 구성 거동을 보장하는 로그 변형률을 기반으로 한 수정된 변형률 에너지 함수를 개발한다.
• 초탄성 재료에서 안정적이고, 역행성 있으며, 단조적인 응력-변형률 관계의 수학적 기반을 마련한다.
• 제안된 에너지 가족의 볼록성 및 단조성 성질을 2차원 및 3차원 설정 모두에서 조사한다.
• 비선형 푸아송 비율 효과를 포함한 물리적으로 일관된 거동를 보이는 큰 변형 고무류 재료 모델링을 위한 이론적 기반을 제공한다.

제안 방법

• 체적-등체적 분리된 변형률 에너지 함수 제안: det F > 0 인 경우 WeH(F) = (µ/k)ek∥devn log U∥2 + (κ/(2bk))ebk[tr(log U)]2.
• 지오데식 거리의 이론적 배경을 고려해 로그 변형률 텐서 log U를 기본 변형률 척도로 사용한다.
• 1차 축소가 볼록성 기준과 레지오르드-하담르드 조건을 적용하여 타원성 및 안정성 분석을 수행한다.
• 스푸르 볼록성과 행렬 분석 기법을 활용해 로그 V에 대한 코시 응력 텐서의 단조성 성질을 연구한다.
• 평면 탄성정적 문제(n=2)에서 세부 분석을 수행하고 결과를 3차원으로 확장하여 볼록성 영역과 제약 조건을 규명한다.
• 물리적 일관성을 평가하기 위해 TSTS-M+ (진짜 응력-진짜 변형률 단조성) 및 KSTS-I 조건을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 매개변수 조건 하에서 2차원 유한 탄성에서 지수화된 헨크리 에너지 WeH는 1차 축소가 볼록한가?
• RQ2 WeH에서 유도된 코시 응력 텐서는 로그 변형률에 대해 단조성과 역행성을 보이는가?
• RQ3 제안된 에너지 모델은 ν=0일 때 일축 인장에서 횡방향 수축이 발생하지 않는 물리적으로 현실적인 거동를 재현할 수 있는가?
• RQ4 특히 1차 축소가 볼록성과 타원성에 있어 제약 조건이 있는 3차원에서의 모델의 한계는 무엇인가?
• RQ5 등체적 부분이 큰 변형에서 여전히 볼록성을 유지하는 매개변수 범위가 존재하는가?

주요 결과

• n=2인 경우, k ≥ 1/4 및 bk ≥ 1/8 조건을 만족할 경우 지수화된 헨크리 에너지 WeH는 전역적으로 1차 축소가 볼록하다.
• 코시 응력-진짜 변형률 관계는 τ = log V 이며 ∥dev3 τ∥2 ≤ (2/3)σ²y 영역에서 역행성과 단조성을 보인다.
• GL+(n)에서 n=2,3일 때 에너지 F ↦ (µ/k)ek∥log U∥2는 1차 축소가 볼록하지 않으며, 순수한 로그 노름 항의 제약 조건을 시사한다.
• 이차 헨크리 에너지 WH는 1차 축소가 볼록하지 않으며, 볼록성을 복원하기 위해 지수화가 필요함을 확인한다.
• n=3인 경우, 등체적 부분 F ↦ ek∥dev3 log U∥2는 k ≥ 3/16이 아니면 1차 축소가 볼록하지 않으며, 조건을 만족하더라도 제한된 영역에서만 성립한다.
• 일축 인장에서 횡방향 수축이 발생하지 않는 조건을 만족하는 3매개변수 부분군 W♯eH가 규명되었으며, 이는 ν=0일 때에만 성립한다.