[논문 리뷰] The extension and convergence of mean curvature flow in higher codimension

Kefeng Liu, Hongwei Xu외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 05.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 15인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 고차원에서 닫힌 부분다양체에 대한 평균 곡률 흐름의 확장과 수렴을 보장하는 적분 곡률 조건을 수립한다. 유계 기하학을 갖는 리만 다양체 내의 부분다양체로 이전 결과를 일반화함으로써, 제2 기본형이 제어되고 평균 곡률이 유한한 $L^\alpha$ 노름을 가지며 $\alpha \geq n+2$일 경우, 흐름이 임의의 유한 시간 이후로도 연장 가능하다는 것을 증명한다. 핵심 결과는 추적형 제2 기본형에 대한 적절한 $L^p$ 유계 조건 하에서, 스케일링 후 흐름이 구형 극한으로 수렴함을 보여주는 두 개의 수렴 정리이다.

ABSTRACT

In this paper, we first investigate the integral curvature condition to extend the mean curvature flow of submanifolds in a Riemannian manifold with codimension $d\geq1$, which generalizes the extension theorem for the mean curvature flow of hypersurfaces due to Le-Šešum \cite{LS} and the authors \cite{XYZ1,XYZ2}. Using the extension theorem, we prove two convergence theorems for the mean curvature flow of closed submanifolds in ${R}^{n+d}$ under suitable integral curvature conditions.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 부분다양체에 대한 평균 곡률 흐름이 유한 최대 시간 간격을 넘어서 적분 곡률 조건 하에서 확장 가능한가를 조사한다.
• 리만 공간 $\mathbb{R}^{n+d}$ 내에서 닫힌 부분다양체에 대한 평균 곡률 흐름의 수렴 정리를, 추적형 제2 기본형에 대한 $L^p$ 유계 조건 하에서 수립한다.
• 이전의 초곡면에 대한 확장 정리들을 유계 기하학을 갖는 리만 다양체 내의 부분다양체로 일반화한다.
• 평균 곡률 흐름이 둥근 점이나 완전 임베딩 부분다양체로 수렴하는 데 충분한 조건을 제공함으로써, 구와의 미분동형성을 암시한다.

제안 방법

• 평균 곡률 벡터의 $L^\alpha$ 노름을 포함하는 적분 곡률 조건을 사용하여 특이점을 제어하고 흐름을 연장한다. $\alpha \geq n+2$.
• 유니폼한 $|A|^2$ 및 $|H|^2$ 유계 조건을 통해 초곡면에서 부분다양체로의 확장 정리 일반화를 수행한다. 이는 유계 기하학을 갖는 리만 다양체 내에서의 적용을 포함한다.
• 둥근 형태에서의 편차를 측정하고 수렴을 제어하기 위해 추적형 제2 기본형 $\mathring{A} = A - \frac{1}{n}g \otimes H$ 를 적용한다.
• 흐름을 $\widetilde{F}_t = \frac{F_t - x}{\sqrt{2n(T-t)}}$ 로 스케일링하여 점근적 행동을 분석하고, 단위 $n$-구로의 $C^\infty$ 수렴을 증명한다.
• 최대 존재 시간 추정과 양항성 정규성을 사용하여 유한 시간 간격 내에서 매끄러운 해가 존재하도록 보장한다.
• 수렴 임계값을 정의하기 위해 $n$, $p$, $M$의 부피, $A$ 또는 $H$의 $L^{n+2}$ 노름에 따라 의존하는 명시적 상수 $C_1$ 및 $C_2$ 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 부분다양체에 대한 평균 곡률 흐름이 $\mathbb{R}^{n+d}$ 내에서 유한 최대 시간 $T$ 이후로 확장 가능한가? 이는 어떤 적분 곡률 조건을 필요로 하는가?
• RQ2 추적형 제2 기본형 $\mathring{A}$ 에 대한 어떤 $L^p$ 유계 조건이 평균 곡률 흐름이 유한 시간 내에 둥근 점으로 수렴하게 하는가?
• RQ3 만약 $||\mathring{A}||_p < C$ 를 만족하는 부분다양체에 대해, 스케일링된 흐름이 단위 $n$-구로 $C^\infty$ 수렴하는가?
• RQ4 $\mathring{A}$ 의 충분히 작은 $L^n$ 노름이 $\mathbb{R}^{n+d}$ 내의 닫힌 부분다양체가 표준 $n$-구와 미분동형임을 암시하는가?
• RQ5 양의 곡률을 갖는 공간 형상에서의 평균 곡률 흐름이 $\mathring{A}$ 의 $L^n$ 제어 하에 유한 시간 내에 점으로 붕괴되거나 완전 임베딩 부분다양체로 수렴하는가?

주요 결과

• 유계 기하학을 갖는 리만 다양체 내의 닫힌 부분다양체에 대한 평균 곡률 흐름은 $|A|^2 \leq a|H|^2 + b$ 이고 $\|H\|_{\alpha,M\times[0,T)} < \infty$ 이며 $\alpha \geq n+2$ 일 경우, 시간 $T$ 이후로도 연장 가능하다.
• $\|\mathring{A}\|_p < C_1$ 이고 $p > 1$ 이면, $\mathbb{R}^{n+d}$ 내에서 평균 곡률 흐름은 유한 시간 간격 $[0,T)$ 내에 존재하며 균일하게 한 점으로 수렴하고, 스케일링된 흐름은 $C^\infty$ 로 단위 $n$-구로 수렴한다.
• $p > n$ 이면, $\|\mathring{A}\|_p < C_2$ 이면, $\mathbb{R}^{n+d}$ 내에서 평균 곡률 흐름은 다시 유한 시간 간격 내에 존재하며 점으로 수렴하고, 동일한 구형 극한을 갖는다.
• 수렴 정리는 미분 동형 구 정리로 이어진다: 충분히 작은 $L^p$ 노름을 갖는 $\mathring{A}$ 를 가진 닫힌 부분다양체는 표준 $n$-구와 미분동형이다.
• 명시적 상수 $C_1$ 및 $C_2$ 는 각각 $n$, $p$, $M$의 부피, $\|A\|_{n+2}$ 또는 $\|H\|_{n+2}$ 에 따라 달라지며, 수렴의 정량적 임계값을 제공한다.
• 결과들은 호모토피 4-구를 $\|\mathring{A}\|_4$ 가 작은 조건으로 유큐클리드 공간에 매장함으로써 4차원에서의 매끄러운 피카르 추측을 증명할 잠재적 길을 열어 놓는다.