[논문 리뷰] The failure of the uncountable non-commutative Specker Phenomenon

Saharon Shelah, Lutz Strüngmann|ArXiv.org|2000. 09. 05.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가산적 완비 자유곱에서의 비가환 스필러 현상—해당 군으로의 군 준동형사상이 유한한 좌표에만 의존한다는 것—이 비가산적인 경우에 성립하지 않음을 보여준다. 비가산적인 $$\nu$$$ 에 대해 $$u$$ 개의 자명하지 않은 군의 완비 자유곱에서 $$\mathbb{Z}\u0024$$ 로의 $$2^{2^u}$$ 개의 서로 다른 준동형사상을 구성함으로써, 저자들은 이 현상이 가산적 인덱스 집합을 초월해 성립하지 않음을 입증한다.

ABSTRACT

Higman proved in 1952 that every free group is non-commutatively slender, this is to say that if G is a free group and h is a homomorphism from the countable complete free product (X_omega Z) to G, then there exists a finite subset F of omega and a homomorphism h:*_{i in F} Z --> G such that h=h rho_F, where rho_F is the natural map from (X_{i in omega})Z to *_{i in F}Z . Corresponding to the abelian case this phenomenon was called the non-commutative Specker Phenomenon. In this paper we show that Higman's result fails if one passes from countable to uncountable. In particular, we show that for non-trivial groups G_alpha (alpha in lambda) and uncountable cardinal lambda there are 2^{2^lambda} homomorphisms from the complete free product of the G_alpha 's to the ring of integers.

연구 동기 및 목표

• 가산적 인덱스 집합에서 성립하는 히그먼의 비가환 스필러 현상이 비가산 기수로까지 확장되는지 조사하기.
• 에다의 비가산적 상황에서 비가환 스필러 현상이 성립하는지 여부에 대한 열린 질문을 해결하기.
• 비가산적 완비 자유곱에서 $$\mathbb{Z}$$ 로의 준동형사상의 가족을 명시적으로 구성하여, 이들이 무한한 많은 좌표에 의존함을 보여주기.
• 이러한 곱에서 $$\mathbb{Z}$$ 로의 준동형사상 집합의 최대 가능 크기를 입증하기.

제안 방법

• 모든 단어의 집합에 대한 유한 부분단어 기반의 동치관계에 의한 몫으로서 완비 자유곱 $$\times\times_{\alpha \in \lambda} G_\alpha$$ 를 정의한다.
• 기수 $$\lambda$$ 를 비가산적 순서형으로 가지는 기약 단어를 사용하여, 부분단어의 등장 횟수를 모듈로 동치관계에 따라 세는 방식으로 준동형사상을 정의한다.
• 기수 $$\lambda$$ 를 비가산적 순서형으로 가지는 $$2^{2^\lambda}$$ 개의 거의 서로소인 기약 단어의 가족 $$M_\alpha$$ 를 $$\alpha \in 2^{2^\lambda}$$ 에 따라 구성한다.
• 각 단어 $$X$$ 에 대해, $$\beta \in I_\alpha$$, $$\gamma < \lambda$$ 에 대해 $$M_{\beta,\gamma}$$ 와 동형인 부분단어의 양수 및 음수 등장 횟수의 차를 $$\sim_\lambda$$ 모듈로로 할당하여 준동형사상 $$\varphi_\alpha$$ 를 정의한다.
• 단어의 축약과 합성에 대한 호환성과 일관성을 보임으로써 $$\varphi_\alpha$$ 가 잘 정의된 군 준동형사상임을 증명한다.
• 서로 다른 $$\alpha$$ 에 대해 부분단어 패턴의 겹침이 없음을 보장하는 조건 (*) 과 거의 서로소성 조건 덕분에 $$\varphi_\alpha$$ 가 상호 다른 준동형사상임을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가산적 완비 자유곱에서 성립하는 비가환 스필러 현상이 비가산적 인덱스 집합으로까지 확장되는가?
• RQ2 비가산적인 $$\lambda$$ 에 대해 $$\lambda$$ 개의 자명하지 않은 군의 완비 자유곱에서 $$\mathbb{Z}$$ 로의 비가산적으로 많은 서로 다른 준동형사상을 구성할 수 있는가?
• RQ3 비가산적인 $$\lambda$$ 에 대해 $$\mathrm{Hom}(\times\times_{\alpha \in \lambda} G_\alpha, \mathbb{Z})$$ 의 크기가 가능한 최대인가?
• RQ4 완비 자유곱의 단어들에 대해, 준동형사상이 유한한 부분곱으로 인해 인수분해되지 않도록 하는 구조적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 비가산적 인덱스 집합에 대해 비가환 스필러 현상은 실패한다: 유한한 부분곱으로 인수분해되지 않는, $$\times\times_{\alpha \in \lambda} G_\alpha$$ 에서 $$\mathbb{Z}$$ 로의 준동형사상이 존재한다.
• 모든 비가산 기수 $$\lambda$$ 와 자명하지 않은 군 $$G_\alpha$$ 에 대해, 완비 자유곱에서 $$\mathbb{Z}$$ 로의 준동형사상이 $$2^{2^\lambda}$$ 개 존재하며, 이는 가능한 최대 기수이다.
• 이러한 구성은 비가산적 순서형 $$\lambda$$ 을 가진 $$2^{2^\lambda}$$ 개의 거의 서로소인 기약 단어의 가족에 기반하며, 각각 부분단어 수를 세는 방식으로 서로 다른 준동형사상을 정의한다.
• $$\varphi_\alpha$$ 는 기반 단어 가족이 조건 (*) 를 만족함으로써 부분단어 패턴의 겹침이 없음을 보장하므로 잘 정의되고 상호 다른 준동형사상이다.
• 기수 $$\lambda$$ 가 비가산적 순서형임이 핵심적이다; 히그먼의 원래 결과에 의해 가산적 경우에서는 이러한 실패가 발생하지 않는다.
• 이러한 준동형사상의 존재는 비가산적 완비 자유곱의 구조가 그 가산적 대응체보다 훨씬 더 풍부하다는 것을 보여준다.