[논문 리뷰] The fattened Davis complex and weighted $L^2$–(co)homology of Coxeter groups

Wiktor J. Mogilski|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

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한 줄 요약

이 논문은 두꺼운 Davis 복합체와 가중 $L^2$-(코)호모로지의 기법을 사용하여, 차원 3 및 4에서 코xeter 군에 대한 가중 Singer 추측을 증명한다. 네이비 $L$이 $S^2$의 삼각분할이자 초구형 3단체의 이중이 아닌 경우, 차원 3에서는 $k > n/2$ 및 $q \leq 1$일 때 $L^2_qH^k(\Sigma_L)$의 영성과, 차원 4에서는 링크에 대한 전체부분복합체 조건을 만족할 때 이를 확장한다. 핵심 결과는 모든 $q$에 대해 가중 $L^2$-(코)호모로지가 단일 차수에 집중되어 있으며, 성장급수를 통해 명시적인 베텔리 수를 계산할 수 있다는 것이다.

ABSTRACT

This article consists of two parts. First, we propose a program to compute the weighted [math] –(co)homology of the Davis complex by considering a thickened version of this complex. The program proves especially successful provided that the weighted [math] –(co)homology of certain infinite special subgroups of the corresponding Coxeter group vanishes in low dimensions. We then use our complex to perform computations for many examples of Coxeter groups. Second, we prove the weighted Singer conjecture for Coxeter groups in dimension three under the assumption that the nerve of the Coxeter group is not dual to a hyperbolic simplex, and in dimension four under the assumption that the nerve is a flag complex. We then prove a general version of the conjecture in dimension four where the nerve of the Coxeter group is assumed to be a flag triangulation of a [math] –manifold.

연구 동기 및 목표

• 코xeter 군에 대한 가중 Singer 추측을 차원 3 및 4에서 가중 $L^2$-(코)호모로지의 기법을 사용하여 증명하기.
• 네이비 $L$이 특정 기하 조건을 만족할 때 $L^2_qH^k(\Sigma_L)$의 영성, 즉 $k > n/2$ 및 $q \leq 1$일 때를 확립하기.
• 이전의 구의 경우를 일반화하여 3-다양체의 플래그 삼각분할로 추측을 확장하기.
• 성장급수와 바르누아-노이만 차원 이론을 통해 명시적인 $L^2_q$-베텔리 수를 계산하기.

제안 방법

• 코xeter 군 $W$가 적절하고 코컴팩트하게 작용하는 계약가능한 $W$-CW-복합체인 Davis 복합체 $\Sigma_L$를 사용한다.
• 가중치 튜플 $q = (q_s)_{s \in S}$, $q_s > 0$를 사용하여 가중 $L^2$-(코)호모로지 $L^2_qH^k(\Sigma_L)$와 그 바르누아-노이만 차원을 정의한다. 이 가중치는 공轭에 관하여 불변이어야 한다.
• 높은 차수에서의 영성과 낮은 차수에서의 영성을 연결하기 위해 가중 Poincaré 쌍대성을 활용한다.
• 정점 링크와 스타와 관련된 부분복합체에서의 $L^2_q$-코호모로지에 대해 Mayer–Vietoris 수열을 적용한다.
• 기초 도구로 제8정리(디스크 유사 네이비에 대해 높은 차수에서의 영성)와 제3정리(차원 3에서의 영성)를 적용한다.
• 코xeter 세포의 구조와 (U,T)-파산 분해를 이용하여 약한 정확수열을 통해 코호모로지를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 네이비가 초구형 3단체의 이중이 아닌 $S^2$의 삼각분할인 경우, 차원 3에서 코xeter 군에 대한 가중 Singer 추측이 성립하는가?
• RQ2 어떤 정점 링크가 초구형 3단체의 이중이 아닌 전체부분복합체인 조건을 만족할 경우, 차원 4에서 가중 Singer 추측을 확장할 수 있는가?
• RQ3 플래그 삼각분할로 이루어진 3-다양체에 대해서도 추측이 성립하는가? 이는 구의 경우를 일반화한 것이다.
• RQ4 다양한 $q$에 대해 $L^2_q$-(코)호모로지가 차수에 어떻게 분포되어 있는가?
• RQ5 성장급수로부터 명시적인 $L^2_q$-베텔리 수를 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 차원 3에서는 네이비 $L$이 초구형 3단체의 이중이 아닌 $S^2$의 삼각분할일 때, $k > 1$ 및 $q \leq 1$일 때 $L^2_qH^k(\Sigma_L) = 0$이다.
• 차원 4에서는 어떤 정점의 링크가 초구형 3단체의 이중이 아닌 전체부분복합체일 경우, $k > 2$ 및 $q \leq 1$일 때 $L^2_qH^k(\Sigma_L) = 0$이다.
• 플래그 삼각분할로 이루어진 $S^3$에 대해서는, 가중 $L^2$-(코)호모로지가 $q$에 따라 단일 차수에 집중된다: $q \in \bar{R}$ 이면 차수 0, $q \notin R$ 이고 $q \leq 1$ 이면 차수 1, $q \notin R^{-1}$ 이고 $q \geq 1$ 이면 차수 2, $q \in \bar{R}^{-1}$ 이면 차수 3이다.
• $L^2_q$-베텔리 수는 [7, 보조정리 3.4]와 표준적인 성장급수 계산 [3, 정리 17.1.9]를 통해 명시적으로 계산 가능하다.
• 차원 3에서는 추측이 유한한 경우로 축소되며, 아직 증명되지 않은 나머지 경우는 오직 아홉 개의 Lánner 군(초구형 3단체의 이중)에 국한된다.
• 플래그 삼각분할로 이루어진 3-다양체에 대해서는 $k > 2$ 및 $q \leq 1$일 때 $L^2_qH^k(\Sigma_L) = 0$이며, 이는 $S^3$의 경우를 일반화한 것이다.