[논문 리뷰] The Fibonacci quasicrystal: case study of hidden dimensions and multifractality

Anuradha Jagannathan|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 29.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 171인용 수 134

한 줄 요약

이 논문은 1차원 페르마티브 퀀티크리스탈을 비정질계의 대표적 모델로 삼아, 다차원 '숨겨진' 격자 구조에서 기인하는 전자적 성질—다중분형 에너지 스펙트럼, 위상적 불변량, 임계 파동함수 등—에 대한 종합적인 이론적 연구를 제시한다. 주요 기여는 정확한 및 근사적 방법의 상세 유도로, 트레이스 맵 및 다중분형 분석을 포함하여 임계성의 강건성, 위상적 표면 상태, 그리고 불순물이 존재할 때의 재진입형 국소화 전이를 드러낸다.

ABSTRACT

The distinctive electronic properties of quasicrystals stem from their long range structural order, with invariance under rotations and under discrete scale change, but without translational invariance. d-dimensional quasicrystals can be described in terms of lattices of higher dimension $D>d$, and many of their properties can be simply derived from analyses that take into account the extra "hidden" dimensions. In particular, as recent theoretical and experimental studies have shown, quasicrystals can have topological properties inherited from the parent crystals. These properties are discussed here for the simplest of quasicrystals, the 1D Fibonacci chain. The Fibonacci noninteracting tight-binding Hamiltonians are characterized by multifractality of spectrum and states, which is manifested in many of its physical properties, notably in transport. Perturbations due to disorder and re-entrance phenomena are described, along with the crossover to strong Anderson localization. Perturbations due to boundary conditions also give information on the spatial and topological electronic properties, as is shown for the superconducting proximity effect. Related models including phonon and mixed Fibonacci models are discussed, as well as generalizations to other quasiperiodic chains and higher dimensional extensions. Interacting quasiperiodic systems and the case for many body localization are briefly discussed. Some experimental realizations of the 1D quasicrystal and their potential applications are described.

연구 동기 및 목표

• 1D 페르마티브 사슬을 장거리 질서는 갖추지만 이동 대칭성이 없는 비정질계를 연구하는 데 기초가 되는 모델로 정립하기 위해.
• 자기적 성질과 다중분형 파동함수가 잘라내기 및 투영 구조를 통해 고차원 모체 격자에서 어떻게 유도되는지 조사하기 위해.
• 근접 효과 및 운반성질의 맥락에서 불순물, 경계 효과, 국소화의 상호작용을 분석하기 위해.
• 다중분형이 동역학적 및 열역학적 성질—이상적 확산 및 얽힘 성장 등—에 미치는 영향을 탐색하기 위해.
• 냉각 원자, 양자점, 광학 격자 등을 활용한 실험적 실현 가능성과 파동 필터링 및 지진 차단에 응용 가능성을 제안하기 위해.

제안 방법

• 1D 페르마티브 사슬을 2차원 정사각형 격자에 통합함으로써 숨겨진 D=2 기원을 드러내기 위해 잘라내기 및 투영 방법을 활용한다.
• 비대칭 페르마티브 모델의 에너지 스펙트럼과 파동함수 재귀 관계를 정확히 해결하기 위해 트레이스 맵 방법을 적용한다.
• 스펙트럼 갭과 밴드-에지 상응성을 특성화하기 위해 갭 레이블링 및 위상적 지표(예: 츄른 수)를 사용한다.
• 일반화된 분형 차원 스펙트럼을 통한 다중분형 분석을 통해 임계 파동함수 스케일링과 자기유사성을 정량화한다.
• 불순물 하에서 강한 앤더슨 국소화로의 전이를 연구하기 위해 섭동 및 근사적인 재규격화군 기법을 적용한다.
• 운반성질을 계산하기 위해 랜더슈어 및 쿠보-그린우드 접근법을 결합하며, E=0에서의 전송에 대한 정확한 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1D 페르마티브 사슬이 1차원이지만 위상적 불변량과 표면 상태는 어떻게 유도되는가?
• RQ2 숨겨진 고차원 격자의 역할은 스펙트럼과 파동함수의 다중분형 및 임계 성질을 결정하는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 불순물은 어떻게 재진입형 국소화를 유도하고 국소화-비국소화 전이를 수정하는가?
• RQ4 다중분형의 동역학적 결과로는 무엇이 있는가? 예를 들어, 로그 주기적 진동과 이상적 확산이 있다.
• RQ5 페르마티브 퀀티크리스탈은 광학, 음향 또는 초전도체계에서 어떻게 실험적으로 실현되고 응용될 수 있는가?

주요 결과

• 페르마티브 사슬은 위상적 불변량에 의해 레이블링된 자기유사성 갭을 가진 다중분형 에너지 스펙트럼을 나타내며, 갭 레이블링 정리와 일치한다.
• E=0에서 비대칭 페르마티브 모델의 파동함수는 정확히 해석 가능하며 강한 다중분형을 보이며, 분형 차원 D0 ≈ 0.878을 가진다.
• 시스템은 본질적으로 츄른 수가 1이므로 2차원 양자 홀 효과와 유사한 위상적으로 보호된 표면 상태를 지닌다.
• 불순물은 재진입형 행동을 유도한다: 임계 상태는 임계 불순도 강도 이하에서는 유지되며 이후 강한 앤더슨 국소화로 전이된다.
• E=0에서 운반성질은 정확하고 양자화되어 있으며, 전송 T=1을 보이며, 경계 효과에 대해 임계 상태의 강건성을 입증한다.
• 자기상관 함수와 확산 지수에서 로그 주기적 진동을 보이며, 다중분형 동역학과 척도 불변성의 징후로 나타난다.