[논문 리뷰] The field Q(2cos(pi/n)), its Galois group and length ratios in the regular n-gon

Wolfdieter Lang|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 03.

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한 줄 요약

이 논문은 대수적 수체계 $\mathbb{Q}(2\cos(\pi/n))$를 조사하며, 그 최소다항식 $C(n,x)$를 유도하고, 기존의 홀수 잔여류에 대한 새로운 모듈로 곱셈을 통해 그 갈루아 군을 특성화하며, 정 $n$각형의 대각선 길이 대 변 길이 비율을 체비셰프 다항식을 사용하여 표현한다. 주요 기여는 이러한 비율을 체계적으로 이 수체계의 구조와 갈루아 군과 연결하는 완전한 대수적 프레임워크를 제공하는 것이다. 이 갈루아 군은 순환군이거나 순환군의 직합일 수 있다.

ABSTRACT

The normal field extension Q(rho(n)), with the algebraic number rho(n) = 2 cos(pi/n) for natural n, is related to ratios of the lengths between diagonals and the side of a regular n-gon. This has been considered in a paper by P. Steinbach. These ratios are given by Chebyshev S-polynomials. The product formula for these ratios was found by Steinbach, and is re-derived here from a known formula for the product of Chebyshev S-polynomials. It is shown that it follows also from the S-polynomial recurrence and certain rules following from the trigonometric nature of the argument x = rho(n). The minimal integer polynomial C(n,x) for rho(n) is presented, and its simple zeros are expressed in the power-basis of Q(rho(n)). Also the positive zeros of the Chebyshev polynomial S(k-1,rho(n)) are rewritten in this basis. The number of positive and negative zeros of C(n,x) is determined. The coefficient C(n,0) is computed for special classes of n values. Theorems on C(n,x) in terms of monic integer Chebyshev polynomials of the first kind (called here t-hat) are given. These polynomials can be factorized in terms of the minimal C-polynomials. A conjecture on the discriminant of these polynomials is made. In order to determine the cycle structure of the (Abelian) Galois group a novel modular multiplication, called Modd n is introduced. On the reduced odd residue system Modd n this furnishes a group which is isomorphic to this Galois group.

연구 동기 및 목표

• 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 수체계 $\mathbb{Q}(2\cos(\pi/n))$와 그 최소다항식 $C(n,x)$를 특성화하는 것.
• 체 $\mathbb{Q}$ 위에서 $\mathbb{Q}(2\cos(\pi/n))$의 갈루아 군을 결정하여, 이것이 순환군이거나 순환군의 직합임을 보이는 것.
• 정 $n$각형의 대각선 대 변 길이 비율을 체비셰프 다항식 $S(k-1, \rho(n))$를 사용하여 표현하고, 이러한 비율의 곱공식을 유도하는 것.
• 수체계의 거듭제곱 기저와 $C(n,x)$의 영점들을 스케일된 체비셰프 다항식 $\hat{t}$를 통해 명시적으로 표현하는 것.
• 갈루아 군의 순환 구조를 모델링하기 위해 $n$ 모듈로의 기약 홀수 잔여류에 대한 새로운 모듈로 곱셈 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$을 도입하는 것.

제안 방법

• $\rho(n) = 2\cos(\pi/n)$에 대한 최소다항식 $C(n,x)$를 $N=2n$일 때 $\cos(2\pi/N)$에 대한 알려진 최소다항식 $\Psi(2n,x)$로부터 유도한다.
• 체비셰프 다항식 $S(k-1,x)$의 재귀관계와 삼각함수 항등식을 사용하여 정 $n$각형에서의 대각선 대 변 길이 비율을 표현한다.
• $S$-다항식의 곱공식을 적용하여 스텐바흐의 대각선 곱공식(DPF)을 재유도한다.
• $C(n,x)$의 영점과 $S(k-1,\rho(n))$의 양의 영점을 스케일된 체비셰프 $T$-다항식 $\hat{t}$를 사용하여 $\mathbb{Q}(\rho(n))$의 거듭제곱 기저에서 표현한다.
• $n$ 모듈로의 기약 홀수 잔여류에 대해 갈루아 군의 순환 구조를 모델링하기 위한 새로운 모듈로 곱셈 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$을 도입한다.
• $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\rho(n))/\mathbb{Q})$와 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$ 간의 동형사상을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소다항식 $C(n,x)$의 구조는 무엇이며, $\Psi(2n,x)$와의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ2 $\mathbb{Q}(\rho(n))$의 갈루아 군은 $n$에 따라 어떻게 달라지며, 언제 비순환군이 되는가?
• RQ3 정 $n$각형의 대각선 대 변 길이 비율은 체비셰프 다항식과 대수적 수론을 사용하여 체계적으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 새로운 모듈로 곱셈 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$은 갈루아 군의 순환 구조를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $C(n,x)$의 계수와 판별식은 소수의 거듭제곱이나 제곱 자유 수 $n$과 같은 특수한 클래스의 $n$에 대해 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 최소다항식 $C(n,x)$는 $\rho(n) = 2\cos(\pi/n)$에 대해 정수 계수를 가지며, 차수 $\delta(n) = \text{A055034}(n)$를 가지며, 모든 영점은 단순하고 $\mathbb{Q}(\rho(n))$의 거듭제곱 기저에서 표현 가능하다.
• 체계 $\mathbb{Q}(\rho(n))$는 $\mathbb{Q}$의 정규 확대이며, $C(n,x)$는 그 분해 다항식이다.
• $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\rho(n))/\mathbb{Q})$는 기약 홀수 잔여류 모듈로 $n$에 대한 곱셈군 $\mathrm{M}_{\text{odd}}n$과 동형이다.
• $n$이 1에서 100 사이일 때, 30개의 값이 비순환 갈루아 군을 가져오며, 이는 순환군의 직합이다.
• 정 $n$각형의 대각선 대 변 길이 비율은 $S(k-1, \rho(n))$로 주어지며, 이 비율의 곱공식은 $S$-다항식 항등식을 사용하여 재유도되었다.
• $C(n,0)$은 특수한 $n$에 대해 계산되었으며, $C(n,x)$의 판별식에 대한 추측이 제시되었다.