[논문 리뷰] The Finite Element Method for the instationary Gross-Pitaevskii equation with angular momentum rotation

Patrick Henning, Axel Målqvist|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 17.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 각운동량 회전이 있는 비정 steady 상태 고체 피타에브스키 방정식을 해결하기 위해 질량을 보존하는 크랭크-니콜슨 유한요소 방법을 제안한다. 정(regularity) 조건 하에서 시간의 최대 노름과 공간의 $L^2$- 및 에너지 노름에서 최적 수렴 속도를 확립하며, 수치 실험을 통해 검증된다.

ABSTRACT

We consider the time-dependent Gross-Pitaevskii equation describing the dynamics of rotating Bose-Einstein condensates and its discretization with the finite element method. We analyze a mass conserving Crank-Nicolson-type discretization and prove corresponding a priori error estimates with respect to the maximum norm in time and the $L^2$- and energy-norm in space. The estimates show that we obtain optimal convergence rates under the assumption of additional regularity for the solution to the Gross-Pitaevskii equation. We demonstrate the performance of the method in numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 고체 피타에브스키 방정식에 대해 질량을 보존하는 수치적 방법을 개발한다.
• 시간 및 공간에서 유한요소 이산화의 수렴 성질을 분석한다.
• 시간의 최대 노름과 공간의 $L^2$- 및 에너지 노름에서 사전 오차 추정을 수립한다.
• 도는 응축체 역학을 시뮬레이션하는 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증한다.

제안 방법

• 유한요소 방법에서 질량 보존을 확보하기 위해 크랭크-니콜슨 유형의 시간 이산화를 사용한다.
• 공변 유한요소를 사용한 갈레르킨 유한요소 방법을 통해 공간 이산화를 수행한다.
• 해의 $L^2$-노름을 유지하도록 방법을 설정하여 질량 보존을 보장한다.
• 시간의 최대 노름과 공간의 $L^2$- 및 에너지 노름에서 오차 분석을 수행한다.
• 정확한 해에 대한 추가 정규성 조건 하에서 이론적 수렴 속도를 도출한다.
• 방법의 성능을 시현하고 이론적 수렴 속도를 확인하기 위해 수치 실험을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도는 고체 피타에브스키 방정식에 대해 질량을 보존하는 유한요소 방법의 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ2 시간의 최대 노름과 공간의 $L^2$- 및 에너지 노름에서 최적 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 해의 정규성은 유한요소 방법의 수렴 성질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이 방법은 도는 보즈-아인슈타인 응축체를 시뮬레이션할 때 성능이 어떠한가?
• RQ5 수치 결과는 이론적 오차 추정을 확인하는가?

주요 결과

• 추가 정규성 조건 하에서 시간의 최대 노름과 공간의 $L^2$- 및 에너지 노름에서 최적 수렴 속도가 달성된다.
• 크랭크-니콜슨 유형의 시간 이산화 덕분에 유한요소 방법이 질량을 보존한다.
• 오차 추정은 사전 분석을 통해 도출되었으며, 해의 정규성에 대한 표준 가정 하에서 수렴성을 확립한다.
• 수치 실험을 통해 제안된 방법의 이론적 수렴 속도가 확인된다.
• 이 방법은 높은 정확도로 도는 보즈-아인슈타인 응축체의 역학을 효과적으로 포착한다.