[논문 리뷰] The Finsler Type of Space-time Realization of Deformed Very Special Relativity

Lei Zhang, Xun Xue|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 05.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 변형된 매우 특수 상대성 이론(VSR) 이론에서 유래하는 페인슬러 유형의 시공간 기하학을 조사한다. 특히 반직접곱 Poincaré 부분군과 그 변형에 초점을 맞추며, 대부분의 이러한 군들이 페인슬러-민코프스키 계량을 유도함을 보이고, 로렌츠 위반 조건 하에서도 회전 대칭성이 유지됨을 밝히며, 물리적 역학에 의해 제약을 받는 임의의 함수에 의존하는 계량을 갖는 적합한 기하학의 가족을 규명한다.

ABSTRACT

We investigate here all the possible invariant metric functions under the action of various kinds of semi-direct product Poincaré subgroups and their deformed partners. The investigation exhausts the possible theoretical frameworks for the spacetime realization of Cohen-Glashow's very special relativity and the deformation very special relativity approach by Gibbons-Gomis-Pope. Within Finsler-Minkowski type of spacetime, we find that the spacetime emerge a Finsler type of geometry in most cases both for undermed Poincaré subgroup and for deformed one. We give an explanation that the rotation operation should be kept even in a Lorentz violating theory from geometrical view of point. We also find that the admissible geometry for $DTE3b$, TE(2), ISO(3) and ISO(2,1) actually consists of a family in which the metric function vary with a freedom of arbitrary function of the specified combination of variables. The only principle for choosing the correct geometry from the family can only be the dynamical behavior of physics in the spacetime.

연구 동기 및 목표

• 변형된 매우 특수 상대성의 맥락에서 반직접곱 Poincaré 부분군과 그 변형된 동반자들에 대한 모든 가능한 불변 계량 함수를 분류하는 것.
• 이러한 대칭군에서 자연스럽게 페인슬러 유형의 시공간 기하학이 유도되는지 여부를 규명하는 것.
• 기하학적 관점에서 로렌츠 위반 이론에서의 회전 대칭성의 역할를 명확히 하는 것.
• 유도된 시공간 프레임워크에서 물리적 역학에 의해 발생하는 계량 함수에 대한 제약 조건을 규명하는 것.
• 기본 및 변형된 경우를 포함한 대칭군과 그에 대응하는 페인슬러 계량 함수의 체계적 분류를 수립하는 것.

제안 방법

• 저자들은 3- 및 4-생성자 로렌츠 부분군(예: TE(2), DTE3b, ISO(3), ISO(2,1))을 시공간 이동 T(4)와 반직접곱으로 조합한 군 작용을 분석한다.
• 불변 원리와 텐서 분석을 사용하여 이러한 군 작용 하에서의 불변 계량 함수를 유도한다.
• 연구는 특정 대칭군에 대해 불변인 시공간 계량을 구성하기 위해 페인슬러-민코프스키 프레임워크를 활용한다.
• DISIM_b(2)와 같은 변형된 군의 경우, 선형 요소는 $ ds^2 = (\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu)^{1-b} (n_\mu dx^\mu)^{2b} $ 형태를 가지며, 이는 페인슬러 유형이면서도 로렌츠 위반을 포함한다.
• DTE3b, TE(2), ISO(3), ISO(2,1)에 대해 특별한 변수 조합의 임의 함수에 의해 매개변수화된 계량 함수의 가족을 구성하는 것이 포함된다.
• 군 작용에 대한 불변성 조건을 요구함으로써 기하학적 제약 조건을 도출하고, 가능한 페인슬러 구조의 분류를 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매우 특수 상대성에서 반직접곱 Poincaré 부분군과 그 변형된 형태에 대해 불변인 페인슬러 유형의 계량 함수는 무엇인가?
• RQ2 로렌츠 위반 시공간에서 회전 대칭성이 어떻게 유지되며, 기하학적으로 왜 필수적인가?
• RQ3 TE(2) 및 ISO(3)와 같은 특정 대칭군에서 계량을 정의하는 데 있어 임의 함수의 역할는 무엇인가?
• RQ4 DISIM_b(2)의 변형 매개변수 b는 어떻게 페인슬러 구조를 유일하게 결정하는가?
• RQ5 특정 계량을 가용한 기하학 가족에서 선택하는 데 있어 물리적 제약 조건이 존재하는가?

주요 결과

• 대부분의 반직접곱 Poincaré 부분군과 그 변형된 동반자들은 계량 함수가 군의 불변성에 의해 결정되는 페인슬러 유형의 시공간 기하학을 유도한다.
• 로렌츠 위반 이론에서도 회전 작용은 그대로 유지되며, 이는 불변 계량 함수의 존재가 회전 영역에서 척도 변환을 완전히 배제하기 때문이다.
• DTE3b, TE(2), ISO(3), ISO(2,1)의 경우, 특정 변수 조합의 임의 함수에 의해 매개변수화된 가용한 페인슬러 계량이 존재하며, 이는 광범위한 기하학적 자유도를 나타낸다.
• 변형된 DISIM_b(2) 군은 변형 매개변수 b에 의해 유일하게 그 페인슬러 계량을 결정하며, 선형 요소는 $ ds^2 = (\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu)^{1-b} (n_\mu dx^\mu)^{2b} $ 로 표현된다.
• Poincaré 군은 일반적인 DISIM 계량의 특수한 경우 A=0에 해당하며, A=1의 경우는 DTE2a1 군에 해당한다.
• 광범위한 기하학적 자유도가 존재하나, 비국소 항이 포함된 장 이론이나 입자 역학에서 분수계 도함수 등 물리적 역학이 타당한 계량 형태에 제약을 가한다.