[논문 리뷰] The first and second fundamental theorems of invariant theory for the quantum general linear supergroup

Yang Zhang|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 06.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 브레드드 초대칭 대수와 양자 Howe 대칭을 이용하여, 양자 일반선형 초군수 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$에 대한 불변량 이론의 첫 번째 및 두 번째 기본정리를 수립한다. 비가환 다항식 초대수 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 를 고전적 초대칭 대수의 양자 동반체로 구성함으로써, $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-불변량의 부분대수는 유한 생성임을 증명하고, 그 생성자를 규명하며, 생성자 간의 관계를 특정한다. 이 부분대수는 $m \geq \min\{k,r\}$ 및 $n \geq \min\{l,s\}$ 인 경우에만 브레드드 초대칭 대수와 동형임을 보인다.

ABSTRACT

We develop the non-commutative polynomial version of the invariant theory for the quantum general linear supergroup ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$. A non-commutative ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-module superalgebra $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ is constructed, which is the quantum analogue of the supersymmetric algebra over $\mathbb{C}^{k|l}\otimes \mathbb{C}^{m|n}\oplus \mathbb{C}^{r|s}\otimes (\mathbb{C}^{m|n})^{\ast}$. We analyse the structure of the subalgebra of ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-invariants in $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ by using the quantum super analogue of Howe duality. The subalgebra of ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-invariants in $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ is shown to be finitely generated. We determine its generators and establish a surjective superalgebra homomorphism from a braided supersymmetric algebra onto it. This establishes the first fundamental theorem of invariant theory for ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$. We show that the above mentioned superalgebra homomorphism is an isomorphism if and only if $m\geq \min\{k,r\}$ and $n\geq \min\{l,s\}$, and obtain a monomial basis for the subalgebra of invariants in this case. When the homomorphism is not injective, we give a representation theoretical description of the generating elements of the kernel associated to the partition $((m+1)^{n+1})$, producing the second fundamental theorem of invariant theory for ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$. We consider two applications of our results. A complete treatment of the non-commutative polynomial version of invariant theory for ${ m{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m})$ is obtained as the special case with $n=0$, where an explicit SFT is proved, which we believe to be new. The FFT and SFT of the invariant theory for the general linear superalgebra are recovered from the classical (i.e., $q o 1$) limit of our results.

연구 동기 및 목표

• 양자 일반선형 초군수 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$에 대한 비가환 다항식 불변량 이론의 버전을 개발한다.
• 고전적 초대칭 대수의 양자 동반체인 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 를 $\mathbb{C}^{k|l} \otimes \mathbb{C}^{m|n} \oplus \mathbb{C}^{r|s} \otimes (\mathbb{C}^{m|n})^*$ 위에서 구성한다.
• $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 내에서 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-불변량 부분대수의 유한 생성 집합을 규명하여 첫 번째 기본정리를 수립한다.
• $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-불변량 부분대수의 생성자 간의 대수적 관계를 기술함으로써 두 번째 기본정리를 도출한다.
• $q \to 1$ 극한에서 고전적 FFT 및 SFT를 복원하고, $n=0$ 인 경우(즉, $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_m)$)에 대해 완전한 처리를 제공한다.

제안 방법

• 브레드드 초대칭 대수를 이용하여 고전적 초대칭 대수의 양자 변형으로서 비가환 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-모듈로 초대수 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 를 구성한다.
• 양자 초군수 버전의 Howe 대칭을 적용하여 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 내의 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-불변량 부분대수의 구조를 분석한다.
• 브레드드 초대칭 대수에서 불변량 부분대수로의 전사 초대수 준동형사를 수립함으로써 첫 번째 기본정리를 증명한다.
• 이 준동형사가 $m \geq \min\{k,r\}$ 및 $n \geq \min\{l,s\}$ 인 경우에만 동형임을 증명하고, 이 경우 PBW 기저를 구성한다.
• 준동형사가 단사가 아닐 경우, 표현 이론적으로 커널을 기술하여 생성자 간의 관계를 규명함으로써 두 번째 기본정리를 도출한다.
• 양자 결과의 $q \to 1$ 극한을 취하여 고전적 FFT 및 SFT를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 설정에서 고전적 초대칭 대수 $\mathcal{S}^{k|l}_{r|s}$ 를 변형하는 적절한 양자 다항식 초대수 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 는 무엇인가?
• RQ2 $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 내에서 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-불변량 부분대수의 구조는 어떻게 되며, 비가환성에도 불구하고 어떻게 유한 생성이 가능한가?
• RQ3 브레드드 초대칭 대수에서 불변량 부분대수로의 자연스러운 준동형사가 동형이 되는 조건은 무엇이며, 이 경우 PBW 기저는 어떻게 구성되는가?
• RQ4 준동형사가 단사가 아닐 경우, 불변량 부분대수의 생성자 간의 대수적 관계는 무엇인가?
• RQ5 양자 FFT 및 SFT가 $q \to 1$ 극한에서 어떻게 고전적 결과로 복원되는가?

주요 결과

• $\mathcal{P}^{k|l}_{r|s}$ 내의 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-불변량 부분대수는 유한 생성되며, 양자 Howe 대칭을 통해 생성자가 명시적으로 규명된다.
• 브레드드 초대칭 대수에서 불변량 부분대수로의 전사 초대수 준동형사가 존재하여 첫 번째 기본정리를 수립한다.
• 이 준동형사가 $m \geq \min\{k,r\}$ 및 $n \geq \min\{l,s\}$ 인 경우에만 동형이며, 이 경우 불변량 부분대수의 PBW 기저가 구성된다.
• 준동형사가 단사가 아닐 경우, 커널이 표현 이론적으로 기술되어 생성자 간의 관계가 규명되며, 두 번째 기본정리를 증명한다.
• $q \to 1$ 극한에서 고전적 FFT 및 SFT가 양자 결과로부터 복원된다.
• $n=0$ 인 경우는 $\mathrm{U}_q(\mathfrak{gl}_m)$에 대한 비가환 불변량 이론의 완전한 처리를 제공하며, 특히 새로운 것으로 여겨지는 명시적 SFT를 포함한다.