[논문 리뷰] The first $L^p$-cohomology of some finitely generated groups and $p$-harmonic functions

Michael J. Puls|ArXiv.org|2005. 09. 07.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성된 군의 첫 번째 $L^p$-코호몰로지와 $p$-조화함수 사이의 연결고리를 확립하며, 차수 $d > p \geq 2$인 다항성장도를 가진 군의 경우, 영이 아닌 코호몰로지 클래스가 $L^{\frac{pd}{d-p}}(G)$에 속하는 함수로 표현될 수 있음을 보여준다. 또한 비압축성 군의 경우, $p' \geq p$일 때 $H^1(G, L^p(G)) \subseteq H^1(G, L^{p'}(G))$임을 증명하여, 압축성 군과의 핵심적 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

Let $G$ be a finitely generated infinite group and let $p > 1$. In this paper we make a connection between the first $L^p$-cohomology space of $G$ and $p$-harmonic functions on $G$. We also describe the elements in the first $L^p$-cohomology space of groups with polynomial growth, and we give an inclusion result for nonamenable groups.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 군의 첫 번째 $L^p$-코호몰로지와 $p$-조화함수 사이의 연결고리를 확립하기 위해.
• 다항성장도를 가진 군의 경우, 첫 번째 $L^p$-코호몰로지 공간의 원소를 특성화하기 위해.
• 비압축성 군의 경우 $H^1(G, L^p(G))$와 $H^1(G, L^{p'}(G))$ 사이의 포함 관계를 조사하기 위해.
• $p$-조화함수가 $L^p$-코호몰로지 공간의 구조에서 수행하는 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 군의 링 $\mathbb{R}G$와 컨볼루션을 사용하여, 오른쪽 이동에 대해 $p$-적분 가능한 차분을 가지는 함수의 공간 $D^p(G)$를 정의한다.
• 대칭 생성집합 $S$의 원소 $s$에 대해 $f*(s-1)$의 $L^p$-노름을 기반으로 $D^p(G)$에 노름을 도입하고, 상수함수를 몫으로 취해 $D^p(G)/\mathbb{R}$를 형성한다.
• 감소 코호몰로지 $\overline{H}^1_{(p)}(G)$ 이론을 적용하고, $D^p(G)$를 $\overline{\mathbb{R}G}_{D^p(G)}$와 조화함수의 공간인 $HD^p(G)$로 분해한다.
• 다항성장도를 가진 군의 경우 조건 $(IS)_d$와 $S_d$가 동치임을 이용하여, 코호몰로지와 $L^r$-공간에서의 적분 가능성 사이의 관계를 규명한다.
• 다항성장도를 가진 군의 경우 $HD^p(G) = \mathbb{R}$임을 이용하여, 비자명한 코호몰로지 클래스가 $D^p(G)$의 비상수 함수에서 유래됨을 분리한다.
• $D^p(G)$와 $L^r(G)$에서의 근사 방법을 적용하여, $\mathbb{R}G$의 수열의 극한이 $L^{\frac{pd}{d-p}}(G)$에서 수렴함을 보이고, 이는 더 높은 적분 가능성 계열에서의 표현을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $p$-조화함수는 유한 생성 군의 첫 번째 $L^p$-코호몰로지와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 다항성장도가 $d$인 군의 경우, $H^1(G, L^p(G))$의 영이 아닌 클래스를 나타내는 함수는 어떤 $L^r$-공간에 속하는가?
• RQ3 비압축성 군의 경우 $p' > p$일 때 $H^1(G, L^p(G))$가 $H^1(G, L^{p'}(G))$에 임베딩되는가?
• RQ4 압축성 군의 경우 포함관계 $H^1(G, L^p(G)) \subseteq H^1(G, L^{p'}(G))$가 실패할 수 있는가?

주요 결과

• 다항성장도가 $d > p \geq 2$인 유한 생성 군 $G$의 경우, Theorem 5.4에서 보여시피, $H^1(G, L^p(G))$의 영이 아닌 모든 클래스는 $L^{\frac{pd}{d-p}}(G)$에 속하는 함수로 표현될 수 있다.
• 군의 다항성장도를 가진 경우, $G$ 위의 $p$-조화함수의 공간 $HD^p(G)$는 $\mathbb{R}$와 같다. 이는 비자명한 코호몰로지 클래스가 $D^p(G)$의 비상수 함수에서 기인함을 의미한다.
• 비압축성 군의 경우, Proposition 6.2에서 모든 $p' \geq p$에 대해 $H^1(G, L^p(G)) \subseteq H^1(G, L^{p'}(G))$가 성립한다.
• 압축성 군의 경우 포함관계가 실패한다: $p' > p$일 때, $D^p(\mathbb{Z})$에 속한 함수 중 $H^1(\mathbb{Z}, L^p(\mathbb{Z}))$에서 영이 아닌 클래스를 나타내지만, $H^1(\mathbb{Z}, L^{p'}(\mathbb{Z}))$에서는 영 클래스가 되는 함수가 존재한다. 이는 6절의 예시에서 확인된다.
• $D^p(G)/\mathbb{R}$ 위의 노름은 $\|f\|_{D(p)} = \left(\sum_{s \in S} \|f*(s-1)\|_p^p\right)^{1/p}$와 동치이며, 이는 대칭 생성집합 $S$의 선택과 무관하다.
• $G$의 다항성장도가 $d > p$일 때, $\overline{\mathbb{R}G}_{D^p(G)}$는 $D^p(G)$의 진부분공간이 되며, 이는 비자명한 코호몰로지 클래스가 $L^p$-함수로 표현될 수 없음을 의미한다.