[논문 리뷰] The first non-vanishing quadratic twist of an automorphic L-series

Jeffrey Hoffstein, Alex Kontorovich|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 04.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ \mathrm{GL}(r,\mathbb{A}_\mathbb{Q}) $, $ r=1,2,3 $에서의 자동형 $ L $-함수의 이차 스트레칭의 중심값이 0이 아닐 조건을 만족하는 최소 기본 판별식 $ d $에 대한 효과적인 경계를 확립한다. 다중 디리클레 급수와 함수-equations를 사용하여, $ \mathrm{GL}(1) $의 경우 $ |d| \ll_\varepsilon N^{1/2+\varepsilon} $, $ \mathrm{GL}(2) $의 경우 $ |d| \ll_\varepsilon N^{1+\varepsilon} $, $ \mathrm{GL}(3) $의 경우 이차 특성 조건을 가정할 때 $ |d| \ll_\varepsilon N^{2+\varepsilon} $임을 증명한다. 결과는 시겔 제로의 부재에 조건을 두며, 역 멜린 변환과 경로 이동에 의존한다.

ABSTRACT

Let pi be an automorphic representation on GL(r, A_Q) for r=1, 2, or 3. Let d be a fundamental discriminant and chi_d the corresponding quadratic Dirichlet character. We consider the question of the least d, relative to the data (level, weight or eigenvalue) of pi, such that the central value of the twisted L-series is nonzero, i.e. L(1/2, pi x chi_d) != 0. For example, let N be the level of pi. Using multiple Dirichlet series, we prove the nonvanishing of a central twisted $L$-value with d << N^{1/2} for GL(1), d << N^1 for GL(2), and d << N^2 for GL(3), the last case assuming that a certain character is quadratic (see Theorem 1.13). We work over Q for simplicity but the method generalizes to arbitrary number fields. We conjecture that in all cases there should be such a twist with d << N^epsilon. This would follow from a Lindelof-type bound for a multiple Dirichlet series which does not have an Euler product, but is constructed from a Rankin-Selberg integral applied to automorphic forms which are eigenfunctions of Hecke operators.

연구 동기 및 목표

• 자기표현 $ \pi $가 $ \mathrm{GL}(r, \mathbb{A}_\mathbb{Q}) $에서 $ r=1,2,3 $일 때 중심 스트레칭된 $ L $-값 $ L(1/2, \pi \otimes \chi_d) $가 0이 아닌 최소 기본 판별식 $ d $를 결정하는 것.
• 레벨 $ N $에 대한 $ |d| $에 대한 효과적이고 다항식 형태의 경계를 제공하여 볼록성 경계를 향상시키는 것.
• 랭킨-셀버그 적분을 통해 구성된 비 오일러 곱을 가진 $ L $-함수에 대해 다중 디리클레 급수의 방법을 확장하는 것.
• 레벨과 스펙트럴 매개변수를 분리하여 유한 및 아르히메데스적 분할에 대한 경계의 의존성을 다루는 것.
• $ |d| \ll_\varepsilon N^\varepsilon $가 일반적으로 성립할 것임을 추측하고, 이러한 다중 디리클레 급수에 대한 린델뢰프 유형 경계가 이 최적 추측 경계를 이끌어낼 것임을 제기하는 것.

제안 방법

• 저자들은 힐베르트 연산자의 고유함수인 자동형 형식의 랭킨-셀버그 적분에서 유도된 다중 디리클레 급수 $ Z(s,w;1,1;\pi) $를 사용한다.
• 역 멜린 변환을 적용하여 스트레칭된 $ L $-값을 감마 인자 $ G_r(w) $를 포함하는 적분과 연결하고, $ \mathcal{I} = \sum_d L(1/2, \pi \otimes \chi_d) V(d/X) $의 표현을 이끌어낸다.
• 적분 경로를 $ \mathrm{Re}(w) = 2 $에서 $ \mathrm{Re}(w) = -1 $으로 이동시키며, $ w=1, 0, 3/4, 1/4 $에서의 잔여치를 취득하고, $ w=1 $에서의 잔여치가 지배적임을 밝힌다.
• 다중 디리클레 급수의 함수-equations를 사용하여 적분을 절대수렴 영역으로 반사시키고, 새로운 감쇠 함수 $ \tilde{V} $를 포함하는 쌍대 표현을 얻는다.
• 잔여 기여를 평가하고 시겔 제로가 없음을 가정하여 주항목이 $ \gg N^{-\varepsilon} X $임을 보장하는 데 의존한다.
• 고유값 측면에 대해 스타링거의 공식을 감마 인자에 적용하여 논증을 완성하고, 동일한 점근적 구조를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 자동형 표현 $ \pi $가 $ \mathrm{GL}(r, \mathbb{A}_\mathbb{Q}) $에서일 때, $ L(1/2, \pi \otimes \chi_d) \neq 0 $이 되는 최소 기본 판별식 $ d $는 무엇인가요?
• RQ2 레벨 $ N $에 대한 $ |d| $에 대한 효과적 경계를 아르히메데스 매개변수에 독립적으로 설정할 수 있는가요?
• RQ3 비영 문제에서 레벨 $ N $과 스펙트럴 매개변수(예: 고유값 $ \lambda $)에 대한 의존성은 어떻게 다릅니까?
• RQ4 오일러 곱이 없는 $ L $-함수에 대해 다중 디리클레 급수의 방법을 확장하여 비영 결과를 도출할 수 있는가요?
• RQ5 현재 경계를 $ |d| \ll_\varepsilon N^\varepsilon $로 향상시킬 수 있으며, 이는 이러한 다중 디리클레 급수에 대한 린델뢰프 추측에 어떤 의미를 갖는가요?

주요 결과

• $ \mathrm{GL}(1) $의 경우, 첫 번째 비영 제곱 스트레칭은 $ |d| \ll_\varepsilon N^{1/2+\varepsilon} $에서 발생하며, 여기서 $ N $은 힐베르트 특성의 레벨이다.
• $ \mathrm{GL}(2) $의 경우 경계는 $ |d| \ll_\varepsilon N^{1+\varepsilon} $로 향상되며, 월드스푸거 정리와 리만-로흐 추론과 일치한다.
• $ \mathrm{GL}(3) $의 경우 관련 특성이 이차임을 가정할 때 경계는 $ |d| \ll_\varepsilon N^{2+\varepsilon} $이며, 대칭 제곱 및 외부 제곱 $ L $-함수로부터 유도된다.
• 증명은 다중 디리클레 급수의 경로 이동에 기반하며, 주요 기여는 $ w=1 $에서의 극에서 비롯되며 잔여항은 스타링거의 공식과 감마 인자 추정을 통해 유계화된다.
• 모든 이러한 $ L $-값이 $ |d| \ll N^{\theta_r + \varepsilon} $까지 0이었다면, 잔여치의 크기가 $ \gg N^{-A} $이므로 모순이 발생함을 보여, 비영임을 증명한다.
• 이 방법은 임의의 수체로 일반화 가능하며, 비오일러 곱 다중 디리클레 급수에 대한 린델뢰프 유형 경계가 존재한다면 최적의 추측 경계 $ |d| \ll_\varepsilon N^\varepsilon $가 유도됨을 시사한다.