[논문 리뷰] The fixed angle conjecture for QAOA on regular MaxCut graphs

Jonathan Wurtz, Danylo Lykov|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3-정규 MaxCut 그래프에 대한 QAOA에서 고정 각도 추측에 대한 수치적 증거를 제시하며, 사전에 계산된 유니버설 각도가 16개 정점 이하의 모든 3-정규 그래프에서 높은 근사 비율을 제공함을 보여준다. 이러한 고정 각도는 변분 최적화를 회피하여 더 빠른 실행을 가능하게 하며, p ≥ 11일 때 Goemans-Williamson 알고리즘을 능가한다.

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm (QAOA) is a near-term combinatorial optimization algorithm suitable for noisy quantum devices. However, little is known about performance guarantees for $p>2$. A recent work \cite{Wurtz_guarantee} computing MaxCut performance guarantees for 3-regular graphs conjectures that any $d$-regular graph evaluated at particular fixed angles has an approximation ratio greater than some worst-case guarantee. In this work, we provide numerical evidence for this fixed angle conjecture for $p<12$. We compute and provide these angles via numerical optimization and tensor networks. These fixed angles serve for an optimization-free version of QAOA, and have universally good performance on any 3 regular graph. Heuristic evidence is presented for the fixed angle conjecture on graph ensembles, which suggests that these fixed angles are ``close" to global optimum. Under the fixed angle conjecture, QAOA has a larger performance guarantee than the Goemans Williamson algorithm on 3-regular graphs for $p\geq 11$.

연구 동기 및 목표

• 모든 d-정규 MaxCut 그래프에 대해 높은 근사 비율을 보장하는 고정 각도의 유니버설 세트가 존재하는지 조사한다.
• 이러한 고정 각도가 변분 최적화의 효과적인 초기 추측값으로 기능하여 고전적 최적화 루프에 대한 의존도를 줄일 수 있는지 확인한다.
• 3-정규 그래프에서 p ≥ 11일 때 고정 각도를 사용한 QAOA가 Goemans-Williamson 알고리즘—가장 잘 알려진 고전적 MaxCut 솔버—보다 더 나은 성능 보장을 달성하는지 평가한다.
• 특히 그래프 집합 전반에서 고정 각도가 전역 최적해에 얼마나 가까운지 분석하여 QAOA 매개변수 공간의 구조를 탐색한다.
• 반복 최적화 없이도 강건한 성능을 보장하는 계산적으로 효율적인 사전 계산된 각도 세트를 제공한다.

제안 방법

• 큰 정규 MaxCut 그래프에 대해 기대값을 계산하기 위해 텐서 네트워크 시뮬레이션을 사용한 QAOA 매개변수의 수치적 최적화.
• 큰 루프 추측 하에, 소규모 사이클이 없는 악성 사례 그래프에서의 최적화를 통해 고정 각도를 계산한다.
• 모든 16개 정점 이하의 3-정규 그래프에서 고정 각도의 근사 비율을 평가하여 고정 각도 추측을 검증한다.
• 기울기 상승 최적화로 얻은 각도와의 성능 비교를 통해 고정 각도가 전역 최적해에 얼마나 가까운지 평가한다.
• 큰 그래프에 대해 효율적으로 局부 QAOA 상태를 분해하고 기대값을 계산하기 위해 텐서 네트워크를 사용한다.
• 유클리드 거리와 같은 매개변수 공간의 구조 분석을 통해 고정 각도와 최적 각도 간의 근접도를 평가하고, 최적해에 도달하는 기울기의 영역에 얼마나 가까운지 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 d-정규 MaxCut 그래프에 대해 그래프의 구조에 관계없이 높은 근사 비율을 보장하는 고정 각도가 존재하는가?
• RQ2 이러한 고정 각도가 변분 최적화의 효과적인 웜스타트로 기능하여 수렴 시간을 크게 줄일 수 있는가?
• RQ3 QAOA에 고정 각도를 사용할 때, 어느 p 값에서 Goemans-Williamson 알고리즘의 근사 비율 보장 수준을 초월하는가?
• RQ4 그래프 집합 전반에서 고정 각도가 QAOA 에너지 표면의 전역 최적해에 얼마나 가까운가?
• RQ5 최적 각도의 집중 현상과 고정 각도 QAOA의 성공을 설명하는 매개변수 공간의 구조적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 16개 정점 이하의 모든 3-정규 그래프에 대해 고정 각도 추측이 성립함을 입증하였으며, 성능 보장 위반 사례는 발견되지 않았다.
• p ≥ 11일 때 고정 각도를 사용한 QAOA가 Goemans-Williamson 알고리즘—가장 잘 알려진 고전적 MaxCut 솔버—의 성능 보장 수준을 초월한다.
• p = 2일 때 고정 각도 근사 비율과 전역 최적해 간 평균 차이가 0.003 이하이므로, 최적 성능에 매우 가까운 것으로 나타났다.
• 일반적으로 고정 각도는 전역 최적해와 같은 기울기의 영역에 속해 있어, 다양한 그래프 간 매개변수의 이식성에 대한 설명이 가능하다.
• 고정 각도는 매끄럽고, 반다이아바틱 프로토콜과 유사한 형태를 띠며, 매끄러운 매개변수 변화와 최적 성능 간 잠재적 연관성이 있음을 시사한다.
• 고정 각도의 사용은 최적화 없이 QAOA를 실행할 수 있게 하여, 변분 최적화 대비 실행 시간을 100~1000배 가량 단축시킬 수 있다.