[논문 리뷰] The Flow of Information in Interactive Quantum Protocols: the Cost of Forgetting

Mathieu Laurière, Dave Touchette|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고전적 입력을 가진 프로토콜에 대한 양자 정보 비용(QIC)의 새로운 운영적 특성화를 제공하며, 이를 고전적 정보 전송 비용과 양자 정보를 잊는 데 드는 비용의 합으로 정의한다. 이는 잊는 것이 양자 속도 향상에 필수적임을 증명한다 — 구체적으로, 잊는 것을 피하는 모든 프로토콜은 이산성(Disjointness) 문제를 선형 이하의 통신으로 해결할 수 없으며, 이는 상호작용 프로토콜에서 뚜렷한 양자 우월성을 얻기 위해 정보 삭제가 필수적임을 시사한다.

ABSTRACT

In the context of two-party interactive quantum communication protocols, we study a recently defined notion of quantum information cost (QIC), which possesses most of the important properties of its classical analogue. Although this definition has the advantage to be valid for fully quantum inputs and tasks, its interpretation for classical tasks remained rather obscure. Also, the link between this new notion and other notions of information cost for quantum protocols that had previously appeared in the literature was not clear, if existent at all. We settle both these issues: for quantum communication with classical inputs, we provide an alternate characterization of QIC in terms of information about the input registers, avoiding any reference to the notion of a purification of the classical input state. We provide an exact operational interpretation of this alternative characterization as the sum of the cost of transmitting information about the classical inputs and the cost of forgetting information about these inputs. To obtain this characterization, we prove a general lemma, the Information Flow Lemma, assessing exactly the transfer of information in general interactive quantum processes. Furthermore, we clarify the link between QIC and IC of classical protocols by simulating quantumly classical protocols. Finally, we apply these concepts to argue that any quantum protocol that does not forget information solves Disjointness on n-bits in Omega (n) communication, completely losing the quadratic quantum speedup. This provides a specific sense in which forgetting information is a necessary feature of interactive quantum protocols. We also apply these concepts to prove that QIC at zero-error is exactly n for the Inner Product function, and n (1 - o(1)) for a random Boolean function on n+n bits.

연구 동기 및 목표

• 입력 상태의 순수화(purification)에 의존하지 않도록 하여 고전적 작업에 대한 양자 정보 비용(QIC)의 해석에 애매함을 제거하기 위해.
• 정보 전송과 잊는 비용을 바탕으로 QIC의 운영적이고 정보이론적인 의미를 제공하기 위해.
• QIC와 이전의 양자 프로토콜에서의 정보 비용 개념(고전적 IC 및 기타 양자 변형) 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 유한 라운드 프로토콜에서 양자 속도 향상을 달성하기 위해 정보를 잊는 것이 필수 조건임을 입증하기 위해.
• 내적 곱(Inner Product)과 임의의 부울 함수와 같은 기본 함수에 대한 QIC의 날카로운 하한을 유도하기 위해.

제안 방법

• 상호작용 프로토콜 내에서 양자 정보 전이를 정확히 추적하기 위한 일반적인 도구인 정보 흐름 보조정리(Information Flow Lemma)를 도입한다.
• 입력 레지스터와 프로토콜 트랜스크립트 사이의 상호정보량을 사용하여 고전적 입력의 순수화를 피하는 QIC의 새로운 특성화를 정의한다.
• 고전적 정보 비용(CIC)과 잊는 비용(CRIC)의 합으로 QIC를 운영적으로 정의하며, 이는 바나흐-바나흐-보르히의 엔트로피 변화로 측정된다.
• 바나흐-바나흐-보르히 엔트로피의 등급 불변성(isometric invariance)을 이용하여 출력 레지스터의 엔트로피를 입력 정보의 내용과 연결한다.
• 고전적 프로토콜을 양자적으로 시뮬레이션하면서 고전적 정보 비용을 유지하는 프레임워크를 적용하여 고전적 및 양자적 환경 간의 비교를 가능하게 한다.
• Rényi 엔트로피와 농도 경계를 활용하여 임의의 부울 함수에 대한 QIC에 대한 고확률 하한을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 입력에 대해 입력 순수화의 개념에 의존하지 않고도 양자 정보 비용(QIC)을 특성화할 수 있는가?
• RQ2 상호작용 프로토콜에서 정보 전송과 삭제의 측면에서 QIC의 운영적 의미는 무엇인가?
• RQ3 QIC는 고전적 정보 비용(IC)과 이전의 양자 정보 비용 개념들 간에 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 유한 라운드 프로토콜에서 양자 속도 향상을 달성하기 위해 정보를 잊는 것이 필수 조건인가?
• RQ5 내적 곱 함수와 임의의 부울 함수에 대해 오차가 0일 때 QIC의 정확한 값은 무엇인가?

주요 결과

• 균일한 입력 분포 하에서 내적 곱 함수에 대한 QIC는 정확히 n 큐비트이다.
• n+n 비트에서 정의된 임의의 부울 함수에 대해, 균일한 입력 분포 하에서 QIC는 높은 확률로 n(1−o(1))이다.
• 정보를 잊지 않는 모든 양자 프로토콜은 이산성 문제를 선형 이하의 통신으로 해결할 수 없으며, 이는 정보 삭제가 양자 속도 향상에 필수적임을 시사한다.
• 프로토콜의 QIC는 고전적 정보 비용(CIC)과 잊는 비용(CRIC)의 합과 운영적으로 동치이다.
• QIC와 고전적 IC는 거의 동치이며, 양자 시뮬레이션은 고전적 IC를 유지하므로 직접 비교가 가능하다.
• 오차 ε→0 일 때, 임의의 함수에 대한 고전적 IC의 한계는 n(1−o(1))에 수렴하며, 동일한 조건 하에서 QIC에 대해서도 유사한 경계가 성립한다.