[논문 리뷰] The force density and the kinetic energy-momentum tensor of electromagnetic fields in matter

Rodrigo Medina, J. Stephany|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 30.

Magnetic and Electromagnetic Effects인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 루프레츠 힘 법칙과 맥스웰 방정식을 바탕으로 이완성 물질에 작용하는 불변 힘 밀도를 유도하고, 비대칭 전자기 에너지-운동량 텐서를 구성하여 맥스웰 방정식과 뉴턴의 제3법칙을 만족시킨다. 미뉴코프스키-아브라함 논란을 해결하기 위해 미뉴코프스키의 운동량(nE/c)이 올바름을 보이며, 비대칭 시스템에서는 스핀 기여항을 포함하지 않으면 질량중심 정리가 실패함을 보이고, 이는 파장 패킷이 유전체 블록과 상호작용할 때 보존 법칙을 복원함을 보여준다.

ABSTRACT

We determine the invariant expression of the force density that the electromagnetic field exerts on dipolar matter and construct the non-symmetric energy-momentum tensor of the electromagnetic field in matter which is consistent with that force and with Maxwell equations. We recover Minkowski's expression for the momentum density. We use our results to discuss momentum exchange of an electromagnetic wave-packet which falls into a dielectric block. In particular we show that the wave-packet pulls the block when it enters and drags it when it leaves. The usual form of the center of mass motion theorem does not hold for this system but a modified version of the theorem which includes a spin contribution is shown to be satisfied.

연구 동기 및 목표

• 상대론적 불변성과 맥스웰 방정식을 사용하여 이완성 물질에 작용하는 전자기장에 의한 불변 힘 밀도를 유도하는 것.
• 루프레츠 힘과 뉴턴의 제3법칙을 만족시키는 전자기장의 에너지-운동량 텐서를 구성하는 것.
• 유전체 내 전자기 운동량에 대한 오랫동안 지속된 미뉴코프스키-아브라함 논란을 해결하기 위해 미뉴코프스키 표현식이 올바름을 보이는 것.
• 비제로 스핀을 가진 시스템에서는 표준 질량중심 운동 정리가 실패하지만, 스핀 기여항을 포함한 수정된 형태는 보존됨을 보이는 것.
• 파장 패킷이 유전체 블록에 진입할 때 매력을 느끼고, 퇴출될 때 끌림을 경험함을 명시적으로 보여주는 것.

제안 방법

• 미세 구조적 루프레츠 힘을 바탕으로 이완성 물질에 작용하는 힘 밀도를 유도하여 뉴턴의 제3법칙과 일관성을 확보하는 것.
• 운동량 밀도의 이중체로 기여하는 운동에너지-운동량 텐서 $ T^{ ueta}_{ ext{FK}} $ 를 구성하여 $ abla_ u T^{ ueta}_{ ext{FK}} = -f^eta $ 를 만족시키는 것, 여기서 $ f^eta $ 는 힘 밀도이다.
• 구속관계 $ oldsymbol{D} = oldsymbol{E} + 4oldsymbol{P}/(4oldsymbol{ u}) $ 와 $ oldsymbol{B} = oldsymbol{H} + 4oldsymbol{M}/(4oldsymbol{ u}) $ 를 사용하여 힘 밀도를 $ oldsymbol{E}, oldsymbol{B}, oldsymbol{P}, oldsymbol{M} $ 로 표현하는 것.
• 비대칭 운동량 흐름을 설명하기 위해 보존 법칙 $ abla_ au S^{ ueta au} = T^{ ueta} - T^{eta u} $ 을 통해 스핀 밀도 $ S^{ ueta au} $ 를 도입하는 것.
• 표준 질량중심 운동 정리가 실패하는 비대칭 시스템에서 보존 법칙을 복원하기 위해 수정된 질량중심 좌표 $ X^i_ heta = X^i_T + X^i_S $ 를 정의하는 것, 여기서 $ X^i_S $ 는 스핀 기여항이다.
• 유전체 블록에 입사하는 가우시안 파장 패킷에 대한 운동량과 스핀 전달을 명시적으로 계산하여, 진입 시 매력을 느끼고 퇴출 시 끌림을 경험함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유전체 내에서 이완성 물질에 작용하는 전자기장에 의한 올바른 불변 힘 밀도 표현은 무엇인가?
• RQ2 전기적 및 자기적 성질을 가진 매질 내 전자기장에 대한 비대칭 에너지-운동량 텐서는 어떻게 처음부터 일관되게 도출할 수 있는가?
• RQ3 비제로 스핀을 가진 시스템, 예를 들어 파장 패킷과 상호작용하는 유전체 블록에서 표준 질량중심 운동 정리는 성립하는가?
• RQ4 바라즈스의 주장, 즉 미뉴코프스키의 운동량이 질량중심 정리 위반을 일으킨다는 주장은 왜 실패하는가?
• RQ5 파장 패킷이 유전체 블록에 진입하고 퇴출될 때 관측되는 매력/끌림 효과의 물리적 기원은 무엇인가?

주요 결과

• 이완성 물질에 작용하는 힘 밀도는 $ f^eta = -\frac{1}{4\boldsymbol{\nu}} \nabla_\nu \big( (\boldsymbol{D} \times \boldsymbol{B} - \boldsymbol{H} \times \boldsymbol{E})^\beta \big) $ 로 유도되며, 에너지 및 운동량 보존을 보장하기 위한 이완성 기여항이 포함되어 있다.
• 유도된 에너지-운동량 텐서 $ T^{\nu\beta}_{\text{FK}} $ 는 비대칭이며, 미뉴코프스키의 운동량 밀도 $ nE/c $ 를 복원하여 그 타당성을 확인한다.
• 비대칭 시스템에서는 스핀이 비영이므로 표준 질량중심 운동 정리는 실패하지만, 스핀 기여항 $ X^i_S $ 를 포함한 수정된 형태는 보존 법칙을 복원한다.
• 파장 패킷이 유전체 블록에 진입할 경우, 식 (44)와 (53)에 의해 스핀 기여항으로 인해 음성 힘(매력)을 경험함을 보였다.
• 퇴출 시, 식 (54)에 나타난 스핀 보정된 운동량 균형과 일치하여 블록이 끌림을 경험함을 보여주며, 이는 개선된 질량중심 정리의 타당성을 검증한다.
• 스핀 기여항 $ \frac{d}{dt}S^{010} $ 는 비영이면서 $ -\frac{(\nu\boldsymbol{\nu}-1)\bar{T}}{4\boldsymbol{\nu}} \times \text{field energy} $ 와 비례하며, 스핀이 운동량 전달에 물리적으로 기여함을 확인한다.