[논문 리뷰] The Formation of Black Holes in General Relativity

Demetrios Christodoulou|ArXiv.org|2008. 05. 26.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 5인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론 내에서 구대칭 중력 수축 문제에 대해 특성 초기값 문제 접근법을 사용하여 포획 표면과 블랙홀의 엄밀한 형성을 수립한다. 과거의 빛의 무한대에서의 영향선 데이터의 점근적 행동을 분석하고 접속 계수 및 외력 곡률에 대한 날카운 L∞, L4, L2 추정치를 도출함으로써, 각 방향에서 단위 입체각당 들어오는 복사 에너지가 임계 임계값을 초과할 경우, 표면이 다이내믹하게 형성되고 이로 인해 사건의 지평선을 가진 블랙홀이 나타나게 된다고 증명한다.

ABSTRACT

The subject of this work is the formation of black holes in pure general relativity, by the focusing of incoming gravitational waves. The theorems established in this monograph constitute the first foray into the long time dynamics of general relativity in the large, that is, when the initial data are no longer confined to a suitably small neighborhood of Minkowskian data. The theorems are general, no symmetry conditions on the initial data being imposed.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론 내에서 구대칭 중력 수축에 있어서 포획 표면 형성에 필요한 필수 조건과 충분 조건을 수립하기 위해.
• 특성 초기값 문제 설정을 통해 아인슈타인 진공 방정식의 역학을 엄밀히 분석하기 위해.
• 스pacetime 기하학의 진화를 제어하기 위해 접속 계수와 곡률 성분에 대한 날카운 점별 및 $L^p$ 추정치를 유도하기 위해.
• 들어오는 단위 입체각당 복사 에너지의 임계값이 포획 표면 형성과 궁극적으로 블랙홀 형성으로 이어지는지를 보여주기 위해.
• 에너지 유량 및 승수 추정치를 사용한 연속성 추론을 완성하여 완전한 미래 사건의 지평선을 포함하는 최대 발전을 구성하기 위해.

제안 방법

• 과거의 빛의 무한대에서 출발하여 특성 초기 데이터를 null 과면 $\mathcal{C}_u$ 및 $\mathcal{C}'_u$ 상에 설정한다.
• 광학적 구조 방정식과 비안치 항등식을 적용하여 접속 계수($\chi, \eta, \omega$)를 곡률 성분과 연결한다.
• 초기 데이터와 매개변수 $\delta$의 소형성 가정을 바탕으로 접속 계수와 그 도함수에 대한 $L^\infty$ 추정치를 도출한다.
• 2-구면체 위에서의 소볼레프 부등식과 타원 이론을 활용하여 접속 계수의 첫째, 둘째, 셋째 도함수에 대한 $L^4(S)$ 및 $L^2$ 추정치를 유도한다.
• 에너지 유량 추정치에서 오차 항을 제어하기 위해 승수 벡터장 및 공변 벡터장(회전 벡터장 $O_i$ 포함)을 도입한다.
• 벨-로빈슨 텐서와 발산 정리를 사용하여 시공간 에너지와 유량을 정의하고, 이로 인해 연속성 추론을 닫는 부트스트랩 추론을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 과거의 빛의 무한대에서의 초깃값이 어떤 조건을 만족할 경우, 구대칭 시공간에서 포획 표면이 형성되는가?
• RQ2 단위 입체각당 들어오는 복사 에너지는 포획 표면과 블랙홀 형성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 $L^p$ 추정치가 접속 계수와 곡률 성분에서 해의 전역 존재성과 정칙성을 제어하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 점근적으로 평탄한 특성 초깃값으로부터 완전한 미래 발전을 포함하는 미래 사건의 지평선을 구성할 수 있는가?
• RQ5 최대 발전이 미래의 빛의 직선에 따라 기하학적으로 불완전해지는 정확한 기하학적 및 역학적 메커니즘은 무엇인가?

주요 결과

• 들어오는 단위 입체각당 복사 에너지가 모든 $\vartheta \in S^2$ 에 대해 $\int_0^\delta e_\infty(u, \vartheta)\,du \geq k$ 를 만족할 경우, 포획 표면이 형성되며, 이때 면적 반지름은 $|r - 1| \leq O(\delta)$ 를 만족한다.
• 한계 에너지 유량 $e_\infty(u, \vartheta)$ 는 $\frac{1}{8\delta} \left| \partial_s \psi_0(u/\delta, \vartheta) \right|^2$ 로 정의되며, 이는 8π 배의 단위 입체각당 들어오는 복사 전력에 해당한다.
• 과거의 빛의 무한대 데이터 $(\psi_0, \psi_0')$ 로부터 구성된 해는 유일하며, $\phi(u,u,\vartheta) \to 1$ 이고 $|u|^{-1} \hat{\chi}_{AB} \to \frac{w^2(\vartheta)}{2\delta^{1/2}} \partial_s \psi_0(u/\delta, \vartheta)$ 를 만족한다. 이는 $u \to -\infty$ 일 때 성립한다.
• 최대 발전은 모든 $u \leq c < 0$ 에 대해 완전한 null 과면 $\mathcal{C}_u$ 와 미래의 빛의 무한대의 이웃 영역을 포함하며, 이는 완전한 블랙홀 시공간의 형성을 나타낸다.
• 조건 $\int_0^\delta e_\infty(u, \vartheta)\,du \geq k$ 가 모든 $\vartheta$ 에 대해 성립할 경우, 포획 구면의 면적 반지름은 $|r - 1| \leq O(\delta)$ 를 만족하며, $k \to 1$, $\delta \to 0$ 의 극한에서 구대칭 부등식 $2E/r \geq 1$ 을 복원한다.
• 어느 방향에서든 조건을 만족하지 못할 경우, $\mathcal{C}_{-1-\delta}$ 의 어떤 생성선에서도 $\operatorname{tr} \chi' < 0$ 가 되며, 이는 공액점의 존재 또는 지오데식의 불완전성을 초래하여 특이점 형성의 가능성을 시사한다.