[논문 리뷰] The fourth moment of Dirichlet $L$-functions along a coset and the Weyl bound

Ian Petrow, Matthew P. Young|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 27.

Analytic Number Theory Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 중심점에서 모든 딜리클레 $L$-함수에 대해 웨일 강도의 하위볼록 bound를 확립하며, 이전의 세제곱 자유 도수 제한 조건을 제거한다. 딜리클레 특성의 코셋을 따라 $L$-함수의 네제곱 모멘트에 대한 리노델뢰프-평균 bound를 증명함으로써, 저자들은 고급 자동형 양식과 $q$-측면에서의 쌍대성 기법을 사용하여 이전의 작업을 확장하며, 궁극적으로 최적의 $O(q^{1/6+\varepsilon})$ 하위볼록 bound를 달성한다.

ABSTRACT

We prove a Lindelöf-on-average upper bound for the fourth moment of Dirichlet $L$-functions of conductor $q$ along a coset of the subgroup of characters modulo $d$ when $q^*|d$, where $q^*$ is the least positive integer such that $q^2|(q^*)^3$. As a consequence, we finish the previous work of the authors and establish a Weyl-strength subconvex bound for all Dirichlet $L$-functions with no restrictions on the conductor.

연구 동기 및 목표

• 모든 원시 딜리클레 $L$-함수에 대해 도수의 구조에 관계없이 웨일 강도의 하위볼록 bound를 확립하는 것.
• 이전에 세제곱 자유 도수 가정이 하위볼록 결과의 적용 범위를 제한했기에, 저자들이 이전에 제시한 세제곱 모멘트 결과의 적용 범위를 제거하는 것.
• 모듈로 $d$의 특성 코셋을 따라 $L$-함수의 네제곱 모멘트에 대한 리노델뢰프-평균 상한 bound를 증명하는 것, 여기서 $q^* \nmid d$.
• 특성 기여의 분석을 통해 $q$-측면에서의 쌍대성 기법을 세제곱 자유가 아닌 도수에도 적용할 수 있도록 확장하는 것.
• 아르히메데스적 기여와 비아르히메데스적 기여를 모멘트 방법에서 통합적으로 다루어 딜리클레 $L$-함수의 하위볼록성 프로그램을 완성하는 것.

제안 방법

• 브뤼그멘-쿠즈네초프 공식과 파면 수열을 적용하여 세제곱 모멘트를 특성 합 $g(\theta, \rho)$ 를 포함하는 이중 모멘트로 변환한다.
• 핵심 해석적 추정치로 $\sum_{\psi \pmod{q}} |L(1/2, \psi)|^4 g(\chi, \psi) \ll q^{2+\varepsilon}$ 를 사용한다.
• 특성 합 $g(\chi, \psi)$ 를 곱셈적 구조와 $p$-진 방법을 통해 분석하며, 특히 $q = p^3$ 인 경우 특이 특성이 나타나므로 이를 중심으로 다룬다.
• $\ell$-진 셰브레 이론과 델리뉴의 리만 가설을 적용하여 $q = p$ 인 경우 $g(\chi, \psi)$ 를 유계로 만들고, $q = p^2$ 인 경우는 기본적인 추정치를 사용한다.
• 이즈라엘란 급수 기여를 분리하여 날카로운 극점 항을 분리하고, 멜린 역변환과 스펙트럼 분해를 통해 유계로 만든다.
• 이중 분할 단위와 스펙트럼 분해를 사용하여 $h \equiv 0 \pmod{d}$ 에 대한 합을 제어하며, $S_{\text{Maass}}, S_{\text{hol}}, S_{\text{Eis}}, S_{\text{Pole}}$ 의 유계를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 원시 딜리클레 특성 $\chi$ 모듈로 $q$ 에 대해 $L(1/2 + it, \chi) \ll (q(1+|t|))^{1/6+\varepsilon}$ 인 웨일 bound 가 성립하는가? 이때 $q$ 가 세제곱 자유가 아님을 가정하지 않고도 성립하는가?
• RQ2 특히 $q = p^3$ 일 때, $q$ 가 세제곱 자유가 아닐 경우, $\sum_{\psi \pmod{q}} |L(1/2, \psi)|^4 g(\chi, \psi)$ 의 네제곱 모멘트는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 $q = p^3$ 모듈로의 특이 특성 $\psi$ (여기서 $p \equiv 1 \pmod{4}$) 는 쌍대성과 모멘트 추정치에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 새로운 모멘트 유계를 사용하여 $L(1/2, \pi \otimes \chi) \geq 0$ 에 기반한 양성성 추론을 세제곱 자유가 아닌 경우로 확장할 수 있는가?
• RQ5 이즈라엘란 급수 항의 극점 기여 $S_{\text{Pole}}$ 의 정확한 크기는 얼마이며, 이는 요구되는 오차 허용 범위 내에 유지되는가?

주요 결과

• 논문은 모든 원시 딜리클레 특성 $\chi$ 모듈로 $q$ 에 대해 $L(1/2 + it, \chi) \ll_{\varepsilon} (q(1+|t|))^{1/6+\varepsilon}$ 인 웨일 bound 를 확립하며, 도수에 대한 제한 없이 성립한다.
• 저자들은 네제곱 모멘트에 대한 리노델뢰프-평균 유계를 증명한다: $\sum_{\psi \pmod{q}} |L(1/2, \psi)|^4 g(\chi, \psi) \ll_{\varepsilon} q^{2+\varepsilon}$, 이는 $q$ 가 세제곱 자유가 아닐 경우에도 성립한다.
• 특히 $q = p^3$ 이고 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우, $|g(\chi, \psi)| = p^{1/2} q$ 를 만족하는 특이 특성 $\psi$ 가 총 $2(p-1)$ 개 존재하며, 이는 개선된 합 분해 기법으로 다뤄진다.
• 극점 기여 $S_{\text{Pole}}(\chi)$ 는 $O(d^{-1/8} \cdot \frac{NH}{q} (Nq)^\varepsilon)$ 로 유계로 제어되며, 이는 주항등항에 영향을 주지 않을 정도로 충분히 작다.
• 마스, 헬로모르픽, 이즈라엘란 기여의 유계는 이중 분할과 스펙트럼 분석을 통해 통합되며, 모든 항은 $O((Nq)^\varepsilon N q^{-1} H)$ 로 제어된다.
• 최종 추정치는 스펙트럼 합에서 $h \equiv 0 \pmod{d}$ 인 항의 합이 $O((Nq)^\varepsilon N q^{-1} H)$ 로 유계로 제어됨을 확인하며, 이는 정리 1.5의 증명을 완성하고, 따라서 정리 1.1의 증명을 완성한다.