[논문 리뷰] The free energy of a quantum Sherrington-Kirkpatrick spin-glass model for weak disorder

Hajo Leschke, Sebastian Rothlauf외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 13.

Theoretical and Computational Physics참고 문헌 95인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 전단계의 스핀거스 모델 결과를 횡방향 자기장이 있는 양자 샤링턴-키르크패트릭 모델로 엄밀하게 확장하며, 약한 불순물 조건(v < 1/β)에서 쿼런치드 자유 에너지가 거의 확실히 애너일드 자유 에너지와 일치함을 증명한다. 이는 스핀거스 상이 존재하지 않음을 의미한다. 포isson 과정을 기반으로 한 파이프먼-카스 경로 적분 표현을 사용하여, 매크로스코픽 애너일드 자유 에너지를 기능의 전역 최소값으로 유도하며, (βv)^4 차수까지 명시적인 테일러 계수와 오차 한계를 포함해 계산한다.

ABSTRACT

We extend two rigorous results of Aizenman, Lebowitz, and Ruelle in their pioneering paper of 1987 on the Sherrington-Kirkpatrick spin-glass model without external magnetic field to the quantum case with a "transverse field" of strength $b$. More precisely, if the Gaussian disorder is weak in the sense that its standard deviation $v>0$ is smaller than the temperature $1/\beta$, then the (random) free energy almost surely equals the annealed free energy in the macroscopic limit and there is no spin-glass phase for any $b/v\geq0$. The macroscopic annealed free energy (times $\beta$) turns out to be non-trivial and given, for any $\beta v>0$, by the global minimum of a certain functional of square-integrable functions on the unit square according to a Varadhan large-deviation principle. For $\beta v<1$ we determine this minimum up to the order $(\beta v)^4$ with the Taylor coefficients explicitly given as functions of $\beta b$ and with a remainder not exceeding $(\beta v)^6/16$. As a by-product we prove that the so-called static approximation to the minimization problem yields the wrong $\beta b$-dependence even to lowest order. Our main tool for dealing with the non-commutativity of the spin-operator components is a probabilistic representation of the Boltzmann-Gibbs operator by a Feynman-Kac (path-integral) formula based on an independent collection of Poisson processes in the positive half-line with common rate $\beta b$. Its essence dates back to Kac in 1956, but the formula was published only in 1989 by Gaveau and Schulman.

연구 동기 및 목표

• 1987년 아이젠만, 레보이츠, 루엘의 고전적 SK 모델 결과를 횡방향 자기장이 있는 양자적 경우로 확장한다.
• 약한 불순물 조건 하에서 매크로스코픽 한계에서 쿼런치드 자유 에너지와 애너일드 자유 에너지의 거의 확실한 동일성을 확립한다.
• 대규모 비율 원리에 기반한 변분 원리에 의해 매크로스코픽 애너일드 자유 에너지의 명시적 표현을 유도한다.
• 정적 근사가 조차도 주요 항 수준에서 올바른 βb 의존성과는 다름을 입증한다.
• 비교적 비가역적인 스핀 연산자에 대해 포isson 과정을 기반으로 한 확률적 파이프먼-카스 표현을 개발하고 적용한다.

제안 방법

• 독립적인 포isson 과정(비율 βb)을 기반으로 한 파이프먼-카스 경로 적분 공식을 사용하여 볼츠만-기브스 연산자를 표현한다.
• 바르다한의 대규모 비율 원리를 적용하여 매크로스코픽 애너일드 자유 에너지를 단위 정사각형 위의 L² 함수들에 대한 기능의 전역 최소값으로 표현한다.
• 경로에 대한 확률적 평균을 통해 추적의 스핀 반전 표현을 활용하여 애너일드 자유 에너지를 유도한다.
• 젠슨-파이어르스-보골리우보프 부등식을 사용하여 불순물에 대한 자유 에너지의 리프시츠 연속성을 증명함으로써 대규모 비율 추정을 가능하게 한다.
• 변분 기능을 (βv)^4 차수까지 테일러 전개하며, 계수를 βb의 함수로 명시적으로 계산한다.
• 정적 근사가 조차도 주요 항 수준에서 잘못된 βb 의존성을 유도함을 보여 정확한 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 횡방향 자기장이 있는 양자 SK 모델의 쿼런치드 자유 에너지가 약한 불순물 조건에서 매크로스코픽 한계에서 애너일드 자유 에너지와 일치하는가?
• RQ2 매크로스코픽 애너일드 자유 에너지의 명시적 형태는 어떤 변분 원리로 표현되는가?
• RQ3 자유 에너지의 βb 의존성은 정적 근사가 예측한 바와 얼마나 다를까?
• RQ4 확률적 파이프먼-카스 표현은 비가역적인 스핀 연산자를 다룰 수 있는가?
• RQ5 약한 불순물 조건에서 애너일드 자유 에너지의 주요 항 행동은 무엇이며, 오차 항의 크기는 얼마인가?

주요 결과

• 약한 불순물 조건(v < 1/β) 하에서 매크로스코픽 한계에서 쿼런치드 자유 에너지가 거의 확실히 애너일드 자유 에너지와 일치한다.
• 매크로스코픽 애너일드 자유 에너지는 바르다한의 대규모 비율 원리에 따라 단위 정사각형 위의 L² 함수들에 대한 기능의 전역 최소값으로 주어진다.
• 최소값은 (βv)^4 차수까지 명시적인 테일러 계수(βb의 함수로 표현)로 계산되며, 나머지 항은 (βv)^6/16 이하로 유계이다.
• 정적 근사는 주요 항 수준에서도 잘못된 βb 의존성을 유도하므로, 이 영역에서의 타당성을 부정한다.
• 포isson 과정을 기반으로 한 확률적 파이프먼-카스 공식은 양자 스핀거스 모델에서 비가역적인 스핀 연산자를 다루는 엄밀한 도구를 제공한다.
• 자유 에너지에 대한 대규모 비율 추정을 도출하여, 쿼런치드 자유 에너지가 그 애너일드 평균 주위에 N에 대해 지수적으로 수렴함을 보였다.