[논문 리뷰] The Fukaya category pairs with Lagrangian cobordisms

Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 18.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 18인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 볼록이고 정확한 심플렉틱 다양체 $M$ 속에서 컴acts 브레인의 후크야 카테고리와 비콤팩트 라그랑주 코버디즘의 $\infty$-카테고리 사이의 쌍대성을 수립한다. $\infty$-카테고리적 프레임워크를 통해 코버디즘 카테고리에서 후크야 카테고리로의 함자 $\Xi$ 를 구성하며, 이는 코버디즘 관계를 갖는 컴팩트 브레인들이 후크야 카테고리 내에서 동치임을 보여준다. 이 작업은 랩드 후크야 카테고리를 코버디즘 스펙트럼에 대해 풍부화시키기 위한 기초를 마련한다.

ABSTRACT

Fix a suitably convex, exact symplectic manifold M. We consider the stable oo-category Lag(M) of non-compact Lagrangians whose (higher) morphisms are (higher) Lagrangian cobordisms between them. We show that this oo-category pairs with the Fukaya category Fuk(M) of compact branes. In fact, we also show that there is a subcategory of Lag(M) which pairs with the wrapped Fukaya category of M. This is a first step in a project to enrich wrapped Fukaya categories over cobordism spectra. As a corollary, we show that cobordant compact branes are equivalent in the Fukaya category. We will also mention several other applications (without proof) of the oo-categorical appraoch: One can realize Seidel's representation as a π_0-level consequence of a map of spaces; stable cobordism groups of non-compact branes map to Floer cohomology groups; some of Biran-Cornea's results can be recovered from the colored planar operad associated to the s-dot constructions of each category; and there is an Eoo map of spectra from exact Lagrangian cobordisms in Euclidean space to the integers.

연구 동기 및 목표

• 볼록이고 정확한 심플렉틱 다양체 $M$ 속에서 비콤팩트 라그랑주 코버디즘의 $\infty$-카테고리 $\mathsf{Lag}_{\Lambda}(M)$ 를 정의하고 연구하기.
• $\mathsf{Lag}_{\Lambda}(M)$ 와 컴팩트 브레인의 후크야 카테고리 $\mathrm{Fuk}(M)$ 사이의 자연스러운 쌍대성을 수립하기.
• 코버디즘 관계를 갖는 컴팩트 브레인들이 $\infty$-카테고리적 쌍대성에 의해 후크야 카테고리 내에서 동치임을 보여주기.
• 고차 코버디즘 구조를 활용하여 랩드 후크야 카테고리를 코버디즘 스펙트럼에 대해 풍부화시키는 프로그램을 시작하기.
• 고차 카테고리적 및 호모토피적 방법을 통해 고전적 결과들(예: 시델 표현, 비라안-코르네아 불변량)을 복원할 수 있는 프레임워크를 제공하기.

제안 방법

• 비콤팩트 라그랑주 다양체의 $\infty$-카테고리 $\mathsf{Lag}_{\Lambda}(M)$ 를 $M \times T^*\mathbb{R}^m$ 속에서 정의하며, 사상은 고차원의 라그랑주 코버디즘이다.
• 안정화 과정과 $B$-구성법을 사용하여 코버디즘 카테고리와 후크야 카테고리 사이의 함자를 정의한다.
• $M$ 와 $M \times T^*\mathbb{R}$ 에서 허미트로지안 편향과 컴팩트성/정규성 증명을 적용한 허무론적 곡선 기법을 사용한다.
• $\mathsf{Lag}^{\diamond \bullet}$ 에서 후크야 카테고리로의 함자 $\Xi$ 를 도입하며, 면과 분열 사상과의 호환성을 확보한다.
• 모듈리 공간의 허무론적 디스크 경계 행동을 제어하기 위해 코일링 및 재매개변수화 기법을 활용한다.
• $\infty$-카테고리적 프레임워크를 통해 고차 호모토피를 다루고 삼각형 및 안정 구조와의 호환성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라그랑주 코버디즘은 어떻게 컴팩트 브레인의 후크야 카테고리와 자연스럽게 쌍대성을 가지는 $\infty$-카테고리로 정리될 수 있는가?
• RQ2 고차 코버디즘은 심플렉틱 위상수학에서 호모토피적 및 대수적 구조를 어떻게 캡슐화하는가?
• RQ3 코버디즘 관계를 갖는 컴팩트 브레인들이 $\infty$-카테고리적 쌍대성에 의해 후크야 카테고리 내에서 동치임을 유도할 수 있는가?
• RQ4 이 프레임워크를 통해 랩드 후크야 카테고리를 코버디즘 스펙트럼에 대해 어떻게 풍부화시킬 수 있는가?
• RQ5 고전적 불변량들(예: 시델 표현, 비라안-코르네아 불변량)은 고차 카테고리 맵의 $\pi_0$-레벨 결과로 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 라그랑주 코버디즘의 $\infty$-카테고리 $\mathsf{Lag}_{\mathrm{sk}(M)}(M)$ 는 후크야 카테고리 $\mathrm{Fuk}(M)$ 와 쌍대성을 가지며, 자연스러운 $\infty$-카테고리적 이중성 구조를 수립한다.
• 코버디즘 관계를 갖는 컴팩트 브레인들은 $\Xi$ 를 통한 쌍대성의 결과로 후크야 카테고리 내에서 동치이다.
• 이 구성은 $\mathbb{R}^{2n}$ 내 정확한 라그랑주 코버디즘에서 정수의 이렌베르크-맥클레인 스펙트럼 $H\mathbb{Z}$ 로 향하는 스펙트럼 맵 $\mathcal{L} \to H\mathbb{Z}$ 를 유도하며, 이는 $E_\infty$-구조를 실현한다.
• 비콤팩트 브레인의 안정 코버디즘 군은 $\infty$-카테고리적 프레임워크를 통해 플로어 코hom로지 군으로 사상된다.
• 시델의 표현은 $\infty$-카테고리적 맥락에서 공간 맵의 $\pi_0$-레벨 결과로 나타난다.
• 비라안-코르네아의 결과들은 관련 카테고리의 $s$-도트 구성에 대응하는 색칠된 평면 오페라드로부터 복원될 수 있다.