[논문 리뷰] The Fundamental Theorem of Asset Pricing for Self-Financing Portfolios

Eckhard Platen, Stefan Tappe|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 2인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 숫자화된 자산이 없는 시장에서 자기자금조절 포트폴리오에 대한 자산 가격 정책의 기본 정리를 수립한다. 이는 수단이 필요로 하지 않으며, 무위험 자산의 부재 시에도 자산 가격의 비음성 반마르팅게일 프로세스를 고려한다. 비공정 거래의 부재는 등가 국소 마르틴게일 디플레이터의 존재와 동치이며, 이 디플레이터는 곱셈 특수 반마르틴게일 프로세스이자, 그 곱셈 분해의 유한 변동성 성분과 관련된 저축 계좌와 연결되어 있다.

ABSTRACT

Consider a financial market with nonnegative semimartingales which does not need to have a num\\'{e}raire. We are interested in the absence of arbitrage in the sense that no self-financing portfolio gives rise to arbitrage opportunities, where we are allowed to add a savings account to the market. We will prove that in this sense the market is free of arbitrage if and only if there exists an equivalent local martingale deflator which is a multiplicative special semimartingale. In this case, the additional savings account relates to the finite variation part of the multiplicative decomposition of the deflator.

연구 동기 및 목표

• 자기자금조절 포트폴리오에 초점을 맞추어 수단이 없는 시장에서 자산 가격 정책의 기본 정리를 수립하는 것.
• 등가 국소 마르틴게일 디플레이터의 관점에서 비공정 거래의 부재를 특성화하는 것.
• 특히 디플레이터의 곱셈 분해에서의 유한 변동성 성분과의 연결 고리에서 저축 계좌의 역할을 명확히 하는 것.
• 기존의 비공정 거래 조건을 수단이 없는 비음성 반마르틴게일 가격 프로세스로 일반화하는 것.

제안 방법

• 스토크래틱 프로세스의 프레임워크 내에서 분석을 수행하며, 특히 자산 가격을 반마르틴게일로 모델링한다.
• 핵심 기법은 등가 국소 마르틴게일 디플레이터를 구성하는 것으로, 이는 곱셈 특수 반마르틴게일 프로세스이다.
• 디플레이터의 곱셈 분해를 사용하여 국소 마르틴게일 성분과 유한 변동성 성분을 분리한다.
• 저축 계좌는 디플레이터의 곱셈 분해에서 유한 변동성 성분과 공식적으로 연결된다.
• 증명은 비공정 거래의 부재와 이러한 디플레이터의 존재 사이의 동치성에 기반한다.
• 수단의 존재를 가정하지 않아 더 일반적인 시장 모델에 적용 가능성을 넓힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수단이 없는 시장에서 자기자금조절 포트폴리오 전략이 비공정 거래 없이 가능한 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 시장 환경에서 등가 국소 마르틴게일 디플레이터의 정확한 특성은 무엇인가?
• RQ3 저축 계좌의 포함은 디플레이터의 곱셈 분해와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 기본 자산 가격 정책 정리는 수단이 없는 비음성 반마르틴게일 가격 프로세스로 확장될 수 있는가?
• RQ5 디플레이터의 유한 변동성 성분은 비공정 거래를 방지하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 자기자금조절 전략을 통해 시장에서 비공정 거래가 발생하지 않기 위한 필요충분조건은 등가 국소 마르틴게일 디플레이터가 곱셈 특수 반마르틴게일 프로세스임을 만족하는 것이며, 그 조건을 충족하는 디플레이터가 존재하는 것이다.
• 저축 계좌는 디플레이터의 곱셈 분해에서 유한 변동성 성분과 본질적으로 연결되어 있다.
• 디플레이터의 곱셈 특수 반마르틴게일 성질은 할당된 가격 프로세스가 모든 자기자금조절 전략의 가치가 할당된 후 국소 마르틴게일이 되는 국소 마르틴게일 측도의 존재를 보장한다.
• 비공정 거래의 부재는 모든 자기자금조절 전략의 가치 프로세스가 할당된 후 국소 마르틴게일이 되는 디플레이터의 존재와 동치이다.
• 이 결과는 수단이 필요로 하지 않는다는 점에서 고전적 비공정 거래 정리의 일반화로, 더 넓은 반마르틴게일 모델에 적용 가능하다.
• 디플레이터의 구조는 비음성 자산 가격을 가진 불완전 시장에서 가격 정책과 헤징을 위한 통합된 프레임워크를 제공한다.