[논문 리뷰] The Fundamental Theorem of Calculus with Gossamer numbers

Chelton D. Evans, William K. Pattinson|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 15.

Mathematical and Theoretical Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 초미세 수체계인 *G*로 불리는 비아르키메데스 수체계(무한소와 무한대를 포함)로 기본정리(FTC)를 확장한다. 무한소 간격을 사용하여 불연속 함수의 연속적 표현을 구성함으로써, *G*에서의 리만 합과 적분이 끝점에서의 부정적분의 차이로서 FTC를 만족함을 보여, 유한 영역과 무한 영역을 통합적으로 다룰 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Within the gossamer numbers which extend the real numbers to include infinitesimals and infinities we prove the Fundamental Theorem of Calculus (FTC). Riemann sums are also considered in the gossamer number system, and their non-uniqueness at infinity. We can represent the sum as a continuous function in the gossamer number system by inserting infinitesimal intervals at the discontinuities, and threading curves between the sums discontinuities. As the FTC is a difference of integrals at the end points, the same is true of sums.

연구 동기 및 목표

• 무한소와 무한대를 포함하는 초미세 수체계 *G*로 기본정리(FTC)를 확장한다.
• 무한대에서의 리만 합의 유일성 부재 문제를 해결하기 위해 *G*에서 불연속 함수를 근사하는 연속 곡선을 구성한다.
• *G* 내에서 작업하여 유한 및 무한 간격을 통합적으로 다루며, 이상적 적분을 위한 특수 케이스를 피한다.
• *G*에서의 합과 적분이 끝점에서의 부정적분 차이로서 FTC를 만족함을 보여준다.
• 초미세 전이를 사용하여 단계 함수(예: 헤비사이드 함수, 소수 세는 함수 등)의 연속적 표현을 제공한다.

제안 방법

• 무한소 분할을 사용하여 *G*에서 균일한 리만 합을 정의한다. 분할 폭은 $\frac{1}{\nu}$이며, $\nu \in \mathbb{N}_\infty$이다.
• 전이 원리를 사용하여 $\mathbb{R}$의 불연속 함수를 무한소 간격에서 *G*의 연속 곡선으로 매핑한다.
• 폭이 $2\epsilon$인 간격에서 점프 불연속성을 선형 전이로 대체함으로써 단계 함수의 연속 근사치를 구성한다. $\epsilon \in \Phi$이다.
• 불연속성 아래의 면적을 무한소 폭을 가진 사다리꼴 영역의 합으로 표현하고, 표준 부분에서의 총 기여가 0이 됨을 보여준다.
• 끝점에서의 부정적분을 평가함으로써 *G*에서 기본정리를 적용한다.
• 합계를 점 $G(a) = \sum^a g_j$로 정의하고, *G* 내에서 연속적 적분을 통해 $\sum_{k=a}^b g_k = G(b) - G(a)$를 증명함으로써 기본정리를 합계로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한소와 무한대를 포함하는 수체계로 기본정리를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 헤비사이드 단계 함수와 같은 불연속 함수는 *G*에서 어떻게 연속적으로 표현할 수 있는가?
• RQ3 *G*에서 리만 합의 무한대에서의 행동은 어떠한가? 그 비유일성은 적분에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 적분에 대한 기본정리를 같은 기능적 차구조를 사용하여 이산 합으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 실수에서의 불연속 함수 아래 면적이 *G*에서의 연속 근사에서 어떻게 유지되는가?

주요 결과

• 기본정리가 *G*에서 $\int_a^b f(x)\,dx = \int^b f(x)\,dx - \int^a f(x)\,dx$로 성립하며, 부정적분은 상한의 함수로 정의된다.
• *G*에서의 리만 합은 적분과 점 渐近적으로 동치이다: $\int_0^\nu f(\frac{x}{\nu})\,dx \sim \sum_{j=1}^\nu f(\frac{j}{\nu})\frac{1}{\nu}$, $\nu = \infty$일 때.
• $\mathbb{R}$의 불연속 함수는 무한소 간격에서 *G*에서 연속적으로 표현 가능하며, 불연속성의 면적은 표준 부분에서 0이 된다: $\sum_{k=0}^{w-1} a_k \in \Phi$.
• 실수에서의 조각별 연속 함수 아래 면적은 *G*에서의 연속 근사에서도 유지되며, $A' \simeq A$이다. 여기서 $A'$는 *G*에서의 면적이다.
• 합계는 $\sum_{k=a}^b g_k = \sum^b g_k - \sum^a g_k$를 통해 *G*에서 기본정리를 만족한다. 여기서 합계는 점에서의 함수로 정의된다.
• 유한 개의 불연속성을 가진 모든 함수에 대해, 표준 부분에서 원래 함수와 일치하는 미분 가능한 연속 곡선을 *G*에서 구성할 수 있다.