[논문 리뷰] The Gamma-limit of the two-dimensional Ohta-Kawasaki energy. II. Droplet arrangement at the sharp interface level via the renormalized energy

Dorian Goldman, Cyrill B. Muratov외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 18.

Block Copolymer Self-Assembly참고 문헌 29인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 소수성 상의 체적 분율이 0으로 수렴하는 샤프 인터페이스 영역에서 이중 차원 Ohta-Kawasaki 에너지의 다음 계단 Γ-한계를 유도한다. Sandier-Serfaty의 추상 Γ-수렴 프레임워크와 다중 매개변수 에르고딕 정리에 기반하여, 재규격화된 에너지가 드롭렛 배열을 지배하는 주요 상호작용 에너지로 규명되며, 이는 한계에서 삼각 격자 구조가 에너지 최소화자로 예측된다.

ABSTRACT

This is the second in a series of papers in which we derive a $Γ$-expansion for the two-dimensional non-local Ginzburg-Landau energy with Coulomb repulsion known as the Ohta-Kawasaki model in connection with diblock copolymer systems. In this model, two phases appear, which interact via a nonlocal Coulomb type energy. Here we focus on the sharp interface version of this energy in the regime where one of the phases has very small volume fraction, thus creating small "droplets" of the minority phase in a "sea" of the majority phase. In our previous paper, we computed the $Γ$-limit of the leading order energy, which yields the averaged behavior for almost minimizers, namely that the density of droplets should be uniform. Here we go to the next order and derive a next order $Γ$-limit energy, which is exactly the Coulombian renormalized energy obtained by Sandier and Serfaty as a limiting interaction energy for vortices in the magnetic Ginzburg-Landau model. The derivation is based on the abstract scheme of Sandier-Serfaty that serves to obtain lower bounds for 2-scale energies and express them through some probabilities on patterns via the multiparameter ergodic theorem. Without thus appealing to the Euler-Lagrange equation, we establish for all configurations which have "almost minimal energy" the asymptotic roundness and radius of the droplets, and the fact that they asymptotically shrink to points whose arrangement minimizes the renormalized energy in some averaged sense. Via a kind of $Γ$-equivalence, the obtained results also yield an expansion of the minimal energy for the original Ohta-Kawasaki energy. This leads to expecting to see triangular lattices of droplets as energy minimizers.

연구 동기 및 목표

• 소수성 상의 체적 분율이 0으로 수렴하는 샤프 인터페이스 영역에서 Ohta-Kawasaki 에너지의 다음 계단 Γ-한계를 유도하는 것.
• 균일한 밀도를 초월하여 드롭렛의 점차적 배열을 특성화하는 것, 특히 상호작용에 중점을 두는 것.
• 이전에 비틀림 시스템에서 도출된 재규격화된 에너지가 이 모델에서 드롭렛의 효과적 상호작용 에너지로 나타나는지 확인하는 것.
• 거의 최소화 구성에서 드롭렛이 점점 원형에 수렴하고 점으로 수축함을 증명하며, 그 위치가 재규격화된 에너지를 최소화하는 것.
• Γ-등가성을 통해 원래 Ohta-Kawasaki 에너지 기능의 전체 Γ-전개를 확보하여 최소화자에 대한 에너지 점근적 해석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• Sandier와 Serfaty의 추상 Γ-수렴 프레임워크를 Ohta-Kawasaki 함수에 기인한 2스케일 에너지에 적용하는 것.
• 다중 매개변수 에르고딕 정리를 사용하여 드롭렛 구성의 국소 패턴에 대한 확률로 하한을 표현하는 것.
• 거의 최소화 구성에서 드롭렛이 점차 원형에 수렴하고 반지름이 ρε인 것을 증명하며, 반지름이 ln(rε′/ρε) = oε(1)를 만족하는 것.
• 스크린된 파oisson 방정식의 주기적 해를 이용하여 재규격화된 에너지 최소화자에 대한 주기적 근사로 시험 함수를 구성하는 것.
• Hahn-Banach 확장과 타원형 정칙성을 활용하여 한계 에너지의 이중 적분 항을 분포적 커플링으로 엄밀히 정의하는 것.
• Γ-등가성을 통해 상한과 하한을 결합하여 원래 에너지 함수의 전체 Γ-전개를 확보하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 균일한 드롭렛 밀도가 Γ-한계의 주요 항으로 예측되는 것 이외에, Ohta-Kawasaki 에너지의 다음 계단 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ2 드롭렛의 체적 분율이 0으로 수렴하는 샤프 인터페이스 한계에서 드롭렛은 어떻게 상호작용하며, 그들의 공간 배열은 무엇에 의해 지배되는가?
• RQ3 Ginzburg-Landau 모델의 비틀림 시스템에서 이전에 도출된 재규격화된 에너지가 Ohta-Kawasaki 모델의 드롭렛에 대한 효과적 상호작용 에너지로 나타날 수 있는가?
• RQ4 거의 최소화 구성은 점차 원형으로 수렴하고 점으로 수축하는가? 그리고 그 배열은 재규격화된 에너지를 최소화하는가?
• RQ5 작은 소수성 상 분율 영역에서 원래 Ohta-Kawasaki 에너지의 최소 에너지의 정확한 점근적 전개는 무엇인가?

주요 결과

• Ohta-Kawasaki 에너지의 다음 계단 Γ-한계는 드롭렛 상호작용을 지배하는 재규격화된 에너지로 규명되었으며, 샤프 인터페이스 한계에서 성립한다.
• 거의 최소화 구성에서 드롭렛은 점차 원형에 수렴하며, 반지름 ρε가 ln(rε′/ρε) = oε(1)를 만족함으로써 올바른 척도에서 점으로 수축한다.
• 드롭렛 중심은 약한 평균적 의미에서 재규격화된 에너지를 최소화하며, 이는 순서 있는 배열 경향을 암시한다.
• 원래 Ohta-Kawasaki 함수의 최소 에너지는 재규격화된 에너지를 포함하는 주요 항과 (barδ - barδc) 비례하는 하위 항을 포함하는 Γ-전개를 갖는다.
• 에너지 점근적 해석은 드롭렛의 삼각 격자 배열이 한계에서 최소화자로 나타나야 한다고 예측하며, 이는 재규격화된 에너지가 격자에서 최소화된다는 것으로 잘 알려져 있다.
• 오일러-라그랑주 방정식을 사용하지 않고, 다중 매개변수 에르고딕 정리를 통한 확률적 및 변분 기법에 의존하여 결과를 확립하였다.