[논문 리뷰] The $\gamma$-Vectors of Pascal-like Triangles Defined by Riordan Arrays

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 01.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 6인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 일반 및 지수 리오르단 행렬로 정의된 파스칼 유사 삼각형에 대해 γ-행렬을 도입하고 특성화하며, 이러한 γ-행렬이 확장된 리오르단 행렬에 의해 생성되며 잼비 연분수와 이항 변환을 통해 일반화된 나라야나 수와 연결됨을 보여준다. 주요 기여는 고전적인 γ-벡터 개념을 넓은 범위의 조합적 삼각형으로 확장하는 γn,k에 대한 폐쇄형 공식을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

We define and characterize the $\gamma$-matrix associated to Pascal-like matrices that are defined by ordinary and exponential Riordan arrays. We also define and characterize the $\gamma$-matrix of the reversions of these triangles, in the case of ordinary Riordan arrays. We are led to the $\gamma$-matrices of a one-parameter family of generalized Narayana triangles. Thus these matrices generalize the matrix of $\gamma$-vectors of the associahedron. The principal tools used are the bivariate generating functions of the triangles and Jacobi continued fractions.

연구 동기 및 목표

• 일반 및 지수 리오르단 행렬로 생성된 파스칼 유사 행렬과 관련된 γ-행렬을 정의하고 특성화하는 것.
• 아소시아헤드론에서의 고전적 γ-벡터 개념을 더 넓은 범위의 조합적 삼각형으로 확장하는 것.
• 이러한 삼각형의 역행렬의 γ-행렬을 조사하는 것, 특히 일반 리오르단 행렬의 경우에 중점을 두고.
• 원래 삼각형의 원소 hn,k에 대한 γn,k에 대한 명시적 폐쇄형 표현을 수립하는 것.
• γ-행렬, 잼비 연분수, 이항 변환 간의 관계를 일반화된 나라야나 수의 맥락에서 탐구하는 것.

제안 방법

• 파스칼 유사 행렬과 그에 관련된 γ-행렬을 나타내기 위해 이변수 생성함수 h(x, y)와 γ(x, y)를 사용한다.
• 파스칼 유사 행렬의 생성함수와 γ-행렬의 생성함수를 연결하기 위해 INVERT(y) 변환을 적용한다.
• r-나라야나 수의 생성함수와 그에 해당하는 γ-행렬의 생성함수를 표현하기 위해 잼비 연분수를 활용한다.
• 생성함수 간의 INVERT 변환 관계를 역전시키기 위해 (−y)-번째 이항 변환을 사용한다.
• 지수 리오르단 행렬 이론을 적용하여 지수 생성함수에 대한 γ-행렬을 유도한다. 특히 [ex, x(1 + rx/2)]의 경우에 중점을 둔다.
• 지수 리오르단 행렬 [ex, x(1 + rx/2)]의 γ-행렬은 (n 선택 2k) × rk × (2k−1)!!로 주어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 리오르단 행렬로 정의된 파스칼 유사 삼각형에 대해 γ-행렬은 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 파스칼 유사 삼각형의 생성함수와 그 γ-행렬의 생성함수 사이에는 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 리오르단 행렬 삼각형의 역행렬의 γ-행렬은 원래 γ-행렬과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 지수 리오르단 행렬의 γ-행렬은 명시적으로 계산할 수 있으며, 그 조합적 해석은 무엇인가?
• RQ5 잼비 연분수와 이항 변환은 γ-행렬의 생성함수와 관련된 나라야나 수 유형의 수를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 일반 리오르단 행렬 (1/(1−x), x(1+rx)/(1−x))의 γ-행렬은 확장된 리오르단 행렬 (1/(1−x), rx²/(1−x))로 주어지며, 그 항은 γn,k = (n−k 선택 k) × rk이다.
• 파스칼 유사 삼각형의 생성함수 h(x, y)는 그 γ-행렬의 생성함수 γ(x, y)의 INVERT(y) 변환이다.
• r-나라야나 수의 생성함수는 잼비 연분수 J((y+1), (y+1), ...; ry, ry, ...)로 표현되며, γ-행렬의 생성함수는 J(1, 1, ...; ry, ry, ...)로 표현된다.
• 지수 리오르단 행렬 [ex, x(1 + rx/2)]의 γ-행렬 생성함수는 (−y)-번째 이항 변환을 통해 ex(1 + rxy/2)로 유도된다.
• r=1일 때, γ-행렬은 A100861(베셀 수)에 해당하며, 관련된 파스칼 유사 삼각형은 A100862(코로나 매칭)이다.
• r=2일 때, γ-행렬은 A059344(에르미트 다항식 계수)에 해당하며, 관련된 파스칼 유사 삼각형의 행합은 A000898(대칭 치환)이다.