[논문 리뷰] The Gapeev-Kühn stochastic game driven by a spectrally positive Lévy process

Erik J. Baurdoux, Andreas E. Kyprianou외 1명|ArXiv.org|2009. 04. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 스펙트르ально 양성 Lévy 과정에 의해 구동되는 영구Convertible 채권에 대한 스토하스틱 게임을 변동 이론과 보조 최적 정지 문제를 사용하여 해결하며, 네 가지 파rameter 영역과 연속성 및 매끄러운 맞춤 조건을 특성화하여 완전한 해를 확립한다. 주요 기여는 척도 함수를 통해 나시 균형을 엄밀하게 규명하고, 무한 변동 사례에서 매끄러운 붙임 조건을 명시적으로 규명하는 것이다.

ABSTRACT

In Gapeev and Kühn (2005), the stochastic game corresponding to perpetual convertible bonds was considered when driven by a Brownian motion and a compound Poisson process with exponential jumps. We consider the same stochastic game but driven by a spectrally positive Lévy process. We establish a complete solution to the game indicating four principle parameter regimes as well as characterizing the occurence of continuous and smooth fit. In Gapeev and Kühn (2005), the method of proof was mainly based on solving a free boundary value problem. In this paper, we instead use fluctuation theory and an auxiliary optimal stopping problem to find a solution to the game.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동과 복합 포isson 과정에서의 Gapeev–Kühn 스토하스틱 게임 해를 스펙트르ально 양성 Lévy 과정으로 확장하기.
• 일반적인 Lévy 역학 하에서 게임의 나시 균형(스토하스틱 안장점)의 존재성과 구조를 특성화하기.
• 가치 함수에서 연속성 및 매끄러운 맞춤 조건이 발생하는 조건, 특히 무한 변동 사례에서의 조건을 규명하기.
• 게임가 해를 허용하는 경계 및 무한 변동 영역에 대한 파rameter 영역의 완전한 분류를 수립하기.
• 이전에 사용된 자유 경계 접근 방식을 대체하는 변동 이론과 보조 최적 정지 문제를 기반으로 한 새로운 증명 전략을 제공하기.

제안 방법

• 저자들은 스펙트르ально 양성 Lévy 과정과 관련된 척도 함수 $ W^{(p)} $ 및 $ Z^{(p)} $를 사용하여 변동 항등식을 표현하고 가치 함수를 유도한다.
• 게임의 가치 함수를 분석하고 매끄럽고 연속적인 맞춤 조건을 도출하기 위해 보조 최적 정지 문제를 도입한다.
• 해는 매끄러운 붙임 원리에 의해 구성되며, 이는 이득 함수의 도함수가 임계값 $ c $ 에서 연속이 되어야 한다는 조건을 수반한다.
• 최적의 임계값 $ c $ 를 결정하기 위해 레비 측도 $ \Pi $, 라플라스 지수 $ \psi $ 및 척도 함수를 포함하는 적분 방정식을 도출한다.
• 해의 존재성과 유일성은 함수 $ F(c) $ 의 단조성과 연속성을 분석함으로써 증명되며, 이 함수는 임계값을 $ K $ 와 같게 만드는 값으로 매핑된다.
• 경로의 유한 변동 및 무한 변동 사례를 구분하며, 영점에서 $ W^{(p)} $ 와 $ W^{(p)\prime} $ 에 대한 서로 다른 조건이 적용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트르ально 양성 Lévy 과정에 의해 구동되는 스토하스틱 게임에서 나시 균형이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 파rameter $ \alpha, \beta, q, K $ 와 레비 특성은 게임의 해 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 연속 맞춤은 언제 발생하고, 최적성에 있어 매끄러운 맞춤은 언제 필요하는가?
• RQ4 척도 함수 $ W^{(p)} $ 와 $ Z^{(p)} $ 는 최적 정지 시점의 특성화에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유한 변동 및 무한 변동 Lévy 과정 간의 해는 어떻게 다를까?

주요 결과

• 모든 네 가지 파rameter 영역에서 고유한 나시 균형이 존재한다: 양의 드리프트를 가진 유한 변동, 영 드리프트를 가진 유한 변동, 양의 확산을 가진 무한 변동, 영 확산을 가진 무한 변동.
• 무한 변동 사례에서 매끄러운 맞춤은 임계값 $ c $ 가 적분 방정식 (7.28)를 만족할 때에만 성립하며, 이는 $ G_c'(c-) = G_c'(c+) = 0 $ 를 보장한다.
• (7.29)에 정의된 함수 $ F(c) $ 는 연속적이며 엄밀히 증가하므로 매끄러운 맞춤 조건에 대한 고유한 해를 보장한다.
• $ \lim_{c \downarrow -\infty} F(c) < K $ 및 $ \lim_{c \uparrow \log K} F(c) > K $ 를 만족하여 $ (-\infty, \log K) $ 내에 고유한 해가 존재함을 보장한다.
• $ \psi(-1) < q $ 조건은 기대 수익의 유한성을 보장하며, 게임의 가치 함수 존재에 필수적이다.
• 가치 함수 $ V(x) $ 는 $ x \geq \log K $ 에서 $ e^x $ 로 특성화되며, $ x < \log K $ 에서는 레비 측도에 대한 적분과 척도 함수로 표현된다.