[논문 리뷰] The Garman-Klass volatility estimator revisited

Isaac Meilijson|ArXiv.org|2008. 07. 22.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 12인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 Garman-Klass 변동성 추정기의 재검토를 시도하며, 경로 뒤집기 기반의 경로 기반 통계량 $ S_2 = (C, \text{min}(-L, H-C), \text{max}(-L, H-C)) $ 를 바탕으로 한 새로운 이차 무편향 추정기의 제안을 한다. 여기서 $ C = |CLOSE - OPEN| $, $ H = MAX - OPEN $, $ L = OPEN - MIN $ 이다. 새로운 추정기는 대칭성과 경로 뒤집기 기반의 개선된 충분성 활용을 통해 변동성 추정의 효율성을 높여, Garman-Klass의 7.4보다 略 높은 7.7322의 효율성과 $ 0.258658\sigma^4 $ 의 분산을 달성한다. 이는 체계적 편향 없이, 비정규 분포를 가진 수익률 하에서 기존 추정기보다 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

The Garman-Klass unbiased estimator of the variance per unit time of a zero-drift Brownian Motion B, based on the usual financial data that reports for time windows of equal length the open (OPEN), minimum (MIN), maximum (MAX) and close (CLOSE) values, is quadratic in the statistic S1=(CLOSE-OPEN, OPEN-MIN, MAX-OPEN). This estimator, with efficiency 7.4 with respect to the classical estimator (CLOSE-OPEN)^2, is widely believed to be of minimal variance. The current report disproves this belief by exhibiting an unbiased estimator with slightly but strictly higher efficiency 7.7322. The essence of the improvement lies in the observation that the data should be compressed to the statistic S2 defined on W(t)= B(0)+[B(t)-B(0)]sign[(B(1)-B(0)] as S1 was defined on the Brownian path B(t). The best S2-based quadratic unbiased estimator is presented explicitly. The Cramer-Rao upper bound for the efficiency of unbiased estimators, corresponding to the efficiency of large-sample Maximum Likelihood estimators, is 8.471. This bound cannot be attained because the distribution is not of exponential type. Regression-fitted quadratic functions of S2 (with mean 1) markedly out-perform those of S1 when applied to random walks with heavy-tail-distributed increments. Performance is empirically studied in terms of the tail parameter.

연구 동기 및 목표

• Garman-Klass 추정기가 변동성에 대해 최소 분산 무편향 이차 추정기라는 오랫동안 지속된 믿음을 도전하기 위해.
• 수익률의 부호 기반 경로 뒤집기 기법을 활용해 원래의 $ S_1 = (CLOSE-OPEN, MAX-OPEN, MIN-OPEN) $ 를 압축한 보다 정교한 충분통계량 $ S_2 $ 를 활용하여 Garman-Klass 추정기를 개선하기 위해.
• Garman-Klass보다 더 높은 효율성을 달성하기 위해 $ S_2 $ 에서 유도된 네 가지 기본 무편향 추정기의 가중치를 최적화하여 $ \sigma^2 $ 의 새로운 이차 무편향 추정기 구축하기 위해.
• 특히 안정분포와 $ t $-분포 수익률을 포함한 비정규 분포 하에서의 성능 실증 평가를 위해.

제안 방법

• 수익률의 부호 기반 경로 뒤집기 변환 $ W(t) = B(0) + [B(t) - B(0)] \cdot \text{sign}(B(1) - B(0)) $ 를 제안하여, $ S_1 $ 에서부터 변동성과 관련된 모든 정보를 포함하면서도 전체 경로 복원 없이도 대칭적인 충분통계량 $ S_2 $ 를 생성한다.
• $ S_2 $ 를 $ (C, \min(-L, H-C), \max(-L, H-C)) $ 로 정의하며, 여기서 $ C = |c| $, $ H = h $, $ L = l $ 이고, $ c = CLOSE - OPEN $, $ h = MAX - OPEN $, $ l = MIN - OPEN $ 이다.
• 네 가지 기본 무편향 추정기 $ \sigma^2 $ 를 식별한다: $ \hat{\sigma}_1^2 = 2[(H-C)^2 + L^2] $, $ \hat{\sigma}_2^2 = C^2 $, $ \hat{\sigma}_3^2 = 2(H-C-L)C $, $ \hat{\sigma}_4^2 = -\frac{(H-C)L}{2\log(2) - 5/4} $, 각각의 분산이 알려져 있다.
• 최적화된 가중치 $ \alpha_i $ 를 평균 1 제약 조건 하에서 최소 분산 기반으로 유도하여 새로운 이차 추정기 $ \hat{\sigma}^2 = \sum_{i=1}^4 \alpha_i \hat{\sigma}_i^2 $ 를 구성한다.
• Rao-Blackwell 정리를 활용하여 $ S_2 $ 기반 추정기는 $ S_1 $ 기반 추정기보다 엄밀히 낮은 분산을 가질 수 있음을 정당화하며, Garman-Klass 추정기가 이 경계를 달성하지 못함을 보여준다.
• 모의 실험을 통해 $ t $-분포 및 안정분포의 증분을 가진 랜덤 워크 시뮬레이션을 이용하여 꼬리 행동과 분산 추정치의 수렴성을 측정함으로써 성능을 실증 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Garman-Klass 추정기의 분산 측면에서 엄밀히 뛰어난 새로운 무편향 이차 변동성 추정기를 구성할 수 있는가?
• RQ2 Garman-Klass 추정기보다 낮은 분산을 가진 추정기를 얻기 위해, $ S_1 $ 에서 유도된 경로 뒤집기 기반의 충분통계량 $ S_2 $ 를 사용할 수 있는가?
• RQ3 브라운 운동 하에서 무편향 변동성 추정기의 이론적 효율성 한계는 무엇이며, 실용적인 추정기는 이 한계에 얼마나 가까이 도달할 수 있는가?
• RQ4 비정규 수익률 분포 하에서 제안된 추정기와 Garman-Klass 추정기는 성능가치에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 추정기는 $ 0.258658\sigma^4 $ 의 분산을 달성하며, 이는 효율성 7.7322에 해당한다. 이는 Garman-Klass 추정기의 효율성 7.4보다 엄밀히 높다.
• 새로운 추정기는 네 가지 기본 무편향 추정기의 가중합으로 표현되며, $ \hat{\sigma}^2 = 0.273520 \hat{\sigma}_1^2 + 0.160358 \hat{\sigma}_2^2 + 0.365212 \hat{\sigma}_3^2 + 0.200910 \hat{\sigma}_4^2 $ 로, 평균 1 제약 조건 하에서 분산을 최소화하도록 유도된 계수를 가진다.
• 무편향 추정기의 Cramér-Rao 상한은 $ 8.471 $ 이며, 이는 제안된 추정기가 여전히 이론적 한계 이하에 있음을 시사한다. 이는 분포가 지수족이 아니므로 이 한계에 도달할 수 없다는 점에서 기인한다.
• 비정규 분포 하에서 (예: $ df=3 $ 인 $ t $-분포), $ S_2 $ 의 회귀적 적합 이차 함수는 $ S_1 $ 의 것보다 뚜렷이 뛰어난 성능을 보이며, 특히 꼬리 행동과 수렴성 측면에서 두드러진다.
• $ N=50 $ 개의 증분을 가진 시간 창에서, 校정된 $ C^2 $ 추정기의 경험적 분산은 $ df=3 $ 에서 0.7630 으로 측정되며, $ N \to \infty $ 일 때 2로 수렴한다. 반면 제안된 추정기는 자유도에 관계없이 안정적인 성능 유지를 보인다.
• Rao-Blackwell 정리에 따르면 $ S_2 $ 기반 추정기는 $ S_1 $ 기반 추정기보다 엄밀히 낮은 분산을 가질 수 있으며, 제안된 추정기는 이 개선에서 불변이 아니므로 Garman-Klass와 동일하지 않음을 증명한다.