[논문 리뷰] The Gelfand-Kalinin-Fuks class and characteristic classes of transversely symplectic foliations

D. Kotschick, Shigeyuki Morita|ArXiv.org|2009. 10. 18.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 형식적 해밀토니안 벡터장의 겔프란트-푸크 코hom로지에서 차수 7, 무게 8인 게르프란트-칼리닌-푸크(GKF) 클래스가 잎 코hom로지 클래스 $\eta$와 횡방향 심플렉틱 클래스 $\omega$의 곱 $\eta \land \omega$로 나타남을 증명한다. 또한 콘체비치의 방법을 통해 구성된 횡방향 심플렉틱 리만다이프의 특성 클래스들이 비자명하다는 것을 증명하여, GKF 클래스의 기하학적 의미에 관해 오랫동안 남아 있던 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In the early 1970's, Gelfand, Kalinin and Fuks found an exotic characteristic class of degree 7 in the Gelfand-Fuks cohomology of the Lie algebra of formal Hamiltonian vector fields on the plane. We prove that this cohomology class can be decomposed as a product of a certain leaf cohomology class of degree 5 and the transverse symplectic class. This is similar to the well known factorization of the Godbillon-Vey class for codimension n foliations. We also interpret the characteristic classes of transversely symplectic foliations introduced by Kontsevich in terms of the known classes and prove non-triviality for some of them.

연구 동기 및 목표

• 횡방향 심플렉틱 리만다이프의 맥락에서 차수 7인 이국적인 게르프란트-칼리닌-푸크(GKF) 클래스를 해석하는 것.
• 해당 리만다이프의 특성 클래스로서 GKF 클래스가 기하학적으로 비자명한가를 판단하는 것.
• 콘체비치의 호모모르피즘 $\Phi$를 차수 $2n$까지 완전히 계산하고, 그 결과로 얻어지는 일부 특성 클래스의 비자명성을 증명하는 것.
• 공식적 극한에서의 코hom로지와 그 그래프 코hom로지 대수와의 관계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 콘체비치의 프레임워크를 사용하여, 횡방향 심플렉틱 리만다이프의 특성 클래스를 형식적 해밀토니안 벡터장의 겔프란트-푸크 코hom로지와 연결한다.
• GKF 클래스를 $\eta \land \omega$로 분해하며, 여기서 $\eta \in H^5_{GF}(\mathfrak{ham}_2^0, \mathfrak{sp}(2,\mathbb{R}))_{10}$ 는 잎 코hom로지 클래스이고 $\omega$ 는 횡방향 심플렉틱 클래스이다.
• 이러한 구성은 아벨리안화 $\mathfrak{ham}_{2n}^1 \to S^3 H^{2n}_{\mathbb{R}}$ 를 통해 이루어지며, 이로부터 호모모르피즘 $\Phi: H^*(S^3 H^{2n}_{\mathbb{R}})^{\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})} \to H^{*+2n}_{GF}(\mathfrak{ham}_{2n}, \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R}))$ 가 유도된다.
• 저자들은 $\mathfrak{ham}_{2n}^0$ 의 코hom로지 생성 함수를 무게 32까지 계산하고, 기존의 그래프 코hom로지 대수 $\mathcal{A}(\phi)$ 의 생성 함수와 비교한다.
• 안정적 극한 $\Phi_\infty$ 의 핵과 상을 분석하여 $\mathrm{Im}\, \Phi_\infty \cong \mathcal{A}(\phi)$ 를 보이고, 비안정한 클래스를 올리는 데의 장애를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 게르프란트-칼리닌-푸크 클래스는 잎 코hom로지 클래스와 횡방향 심플렉틱 클래스의 곱으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 콘체비치의 방법으로 구성된 횡방향 심플렉틱 리만다이프의 특성 클래스들이 드 라무 코hom로지에서 비자명한가?
• RQ3 잎 코hom로지 클래스 $\eta$ 는 $n \to \infty$ 에서의 코hom로지 안정적 극한에서 유지되는가?
• RQ4 저차수에서 $\mathfrak{ham}_{2n}^0$ 의 코hom로지 생성 함수와 그래프 코hom로지 대수 $\mathcal{A}(\phi)$ 의 생성 함수는 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 게르프란트-칼리닌-푸크 클래스는 $\eta \land \omega$ 로 분해되며, 여기서 $\eta$ 는 차수 5의 잎 코hom로지 클래스이고 $\omega$ 는 횡방향 심플렉틱 클래스이다. 이는 고빌론-베이 클래스 분해와 유사한 기하학적 해석을 제공한다.
• 무게 32까지의 $\mathfrak{ham}_{2n}^0$ 의 코hom로지 생성 함수는 $1 + t^2 - t^{10} + t^{12} - t^{14} - t^{16} + t^{18} - 3t^{24} + 2t^{26} + \cdots$ 이며, $-t^{10}$ 항은 잎 클래스 $\eta$ 에 해당한다.
• 안정적 극한에서 콘체비치의 호모모르피즘 $\Phi_\infty$ 의 상은 그래프 코호모로지 대수 $\mathcal{A}(\phi) \cong \mathbb{R}[\text{정점 방향 삼중 그래프}]/(\text{AS, IHX})$ 와 동형이며, $\mathrm{Ker}\, \Phi_\infty$ 는 $S^4 H^{2n}_{\mathbb{R}}$ 에 의해 생성된 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$-불변 부분공간에 해당한다.
• 안정적 생성 함수 $c(t) = 1 + t^2 + 2t^4 + 3t^6 + 6t^8 + \cdots$ 는 차수 8까지는 기존의 $\mathcal{A}(\phi)$ 의 생성 함수와 일치하지만, 차수 10에서 차이를 보이며, 이는 고차수에서의 잠재적 불일치를 시사한다.
• 논문은 콘체비치의 일부 특성 클래스가 비자명하다는 것을 보여주며, GKF 클래스의 기하학적 의미에 관해 오랫동안 남아 있던 열린 문제를 해결한다.
• 저자들은 차수 9, 무게 14의 메토키 클래스가 어떤 차수 7의 잎 코호모로지 클래스 $\eta'$ 에 대해 $\eta' \land \omega$ 로 분해될 수 있을 것이라 추측하지만, 이는 아직 증명되지 않았다.