[논문 리뷰] The genealogy of a sample from a binary branching process

Amaury Lambert|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 05.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시간 연속 이진 분열 과정의 끝자락에서 균일하게 추출한 k개의 샘플에 대한 계보학적 구조가, 비정규 사전 확률 y⁻¹dy를 따르는 무작위 표본 확률 Y로 샘플링된 베르누이-표본화된 공통 조상 시점 과정(CPP)의 혼합분포로 분포함을 규명한다. 핵심 결과는 Y를 조건으로 하여 노드 깊이들이 조건부로 i.i.d.임을 보여주는 명시적 de Finetti 유형의 표현이다. 이는 Y와 수정된 밀도를 갖는 i.i.d. 깊이들을 포함하는 두 단계 과정을 통해 효율적인 시뮬레이션과 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

At time 0, start a time-continuous binary branching process, where particles give birth to a single particle independently (at a possibly time-dependent rate) and die independently (at a possibly time-dependent and age-dependent rate). A particular case is the classical birth--death process. Stop this process at time $T>0$. It is known that the tree spanned by the $N$ tips alive at time $T$ of the tree thus obtained (called reduced tree or coalescent tree) is a coalescent point process (CPP), which basically means that the depths of interior nodes are iid. Now select each of the $N$ tips independently with probability $y$ (Bernoulli sample). It is known that the tree generated by the selected tips, which we will call Bernoulli sampled CPP, is again a CPP. Now instead, select exactly $k$ tips uniformly at random among the $N$ tips ($k$-sample). We show that the tree generated by the selected tips is a mixture of Bernoulli sampled CPPs with the same parent CPP, over some explicit distribution of the sampling probability $y$. An immediate consequence is that the genealogy of a $k$-sample can be obtained by the realization of $k$ random variables, first the random sampling probability $Y$ and then the $k-1$ node depths which are iid conditional on $Y=y$.

연구 동기 및 목표

• 시간 연속 이진 분열 과정의 N개의 현존 끝자락에서 균일하게 추출한 k개의 샘플에 대한 계통수적 구조를 규명하는 것.
• 일반적인 시간 비균일성 및 비 마르코프성 분열 역학 하에서 k-샘플 내 노드 깊이의 공동 분포를 기술하는 데 오랫동안 해결되지 않은 문제를 해결하는 것.
• i.i.d. 깊이 분포의 혼합을 이용해 k-샘플 계통수의 구성적이고 시뮬레이션에 적합한 표현을 제공하는 것.
• 무한한 임베딩이 없는 상황에서도 k-샘플에서 유래한 유한한 교환 가능 시퀀스의 노드 깊이에 대해 de Finetti 유형의 표현이 존재하는가를 규명하는 것.

제안 방법

• 논문은 시간과 나이에 따라 변화하는 출생 및 사망 비율을 갖는 분열 수목으로 전체 수목을 모델링하고, 시간 T에 N ≥ 1개의 현존 끝자락이 존재한다는 조건 하에 이를 고려한다.
• 감소된 수목(공통 조상 수목)이 i.i.d. 노드 깊이를 갖는 공통 조상 시점 과정(CPP)임을 보이며, 이는 역 꼬리 분포 F로 특징지어진다.
• k-샘플링의 경우, 정확히 k개의 선택된 끝자락을 갖는 조건 하에 무작위 표본 확률 Y를 갖는 베르누이 표본을 조건부로 적용하여 노드 깊이의 분포를 유도한다.
• Y의 혼합 분포로 비정규 사전 확률 y⁻¹dy를 식별하여, 깊이들이 Y를 조건으로 하여 i.i.d.임을 보여주는 de Finetti 유형의 표현을 이끌어낸다.
• 측도의 변화와 조건부 기댓값의 추론을 통해 k-샘플 내 노드 깊이의 공동 밀도를 유도하며, 이는 Y에 대한 혼합으로 표현된다.
• 결과적으로 시뮬레이션 알고리즘은 Y를 posterior μₖ에서 추출한 후, f_y(x) 비례하는 밀도를 갖는 k−1개의 i.i.d. 깊이를 추출한다. 여기서 f_y는 Y=y일 때 공통 조상 시간 H의 밀도이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 시간 비균일성 및 비 마르코프성 분열 역학 하에서 이진 분열 과정의 끝자락에서 균일하게 추출한 k-샘플 내 노드 깊이의 공동 분포는 무엇인가?
• RQ2 k-샘플의 계통수는 베르누이-표본화된 CPP와 같은 더 단순한 과정들의 혼합으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 무한한 교환 가능 확장이 없는 상황에서도 k-샘플 내 k−1개의 노드 깊이 유한 교환 가능 시퀀스에 대해 de Finetti 유형의 표현이 존재하는가?
• RQ4 통계적 추론을 위해 k-샘플 수목의 우도를 효율적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• k-샘플의 계통수는 (0,1)에서 비정규 사전 확률 y⁻¹dy를 따르는 무작위 표본 확률 Y를 갖는 베르누이-표본화된 CPP의 혼합분포로 분포한다.
• Y=y를 조건으로 하여 k−1개의 노드 깊이는 f_y(x) 비례하는 밀도를 갖는 i.i.d.이다. 여기서 f_y는 Y=y일 때 공통 조상 시간 H의 밀도이다.
• k-샘플 내 노드 깊이의 공동 밀도는 식 (13)으로 명시적으로 주어지며, 이는 Y의 후행 분포 μₖ에 대한 혼합을 포함한다.
• 이 표현은 효율적인 시뮬레이션을 가능하게 한다: 먼저 μₖ에서 Y를 추출하고, 그 다음 f_y에 비례하는 조건부 밀도를 갖는 k−1개의 i.i.d. 깊이를 추출한다.
• k-샘플 수목의 우도는 상수 시간 복잡도로 수치적으로 계산 가능하며, 이를 통해 정리 5에서 보여진다.
• 이 결과는 이전 문헌의 표현을 일반화하고 단순화하며, 특히 [11] 및 [5]의 표현을 일반화하고, 시간 균일성 있는 출생-사망 사례에서 [5]의 정리 5.2와 일치한다.