[논문 리뷰] The Generalisation of the Coulomb Gauge to Yang-Mills Theory

C. Cronström|ArXiv.org|1998. 10. 01.

Quantum and Classical Electrodynamics참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아벨 쿨롱 게이지의 비아벨 양-밀스 이론으로의 일반화를 제안하며, 고유의(compact, 반단순) 게이지 군을 가진 비아벨 양-밀스 이론에 대해 시간 도함수를 가우스의 법칙에서 제거하는 게이지 조건을 수립한다. 이 구성은 리 대수 값을 갖는 게이지 매개변수에 대한 타원형 편미분방정식을 푸는 데 기반하며, 그로 인해 게이지의 존재성과 유일성을 입증하고 그리보프 문제를 피한다.

ABSTRACT

I consider the problem of generalising the Abelian Coulomb gauge condition to the non-Abelian Yang-Mills theory, with an arbitrary compact and semi-simple gauge group. It is shown that a straightforward generalisation exists, which reduces the Gauss law into a form involving the gauge potentials only, but not their time derivatives. The existence and uniqueness of the generalised Coulomb gauge is shown to depend on an elliptic linear partial differential equation for a Lie-algebra valued quantity, which defines the gauge transform by means of which the generalised Coulomb gauge condition is realised. Thus the Gribov problem is actually non-existent in this case.

연구 동기 및 목표

• 임의의 컴팩트 반단순 게이지 군을 가진 비아벨 양-밀스 이론에 대해 아벨 쿨롱 게이지 조건을 일반화하는 것.
• 가우스의 법칙을 시간 도함수 없이 게이지 퍼텐셜의 형태로만 표현하는 게이지 조건을 수립하는 것.
• 해결 가능한 타원형 편미분방정식을 통해 일반화된 쿨롱 게이지의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 게이지 고정 조건이 잘 정의된 타원형 방정식을 이끌어내어 이 게이지에서 그리보프 문제를 해결하는 것.
• 비아벨 쿨롱 게이지의 일반화를 통해 비아벨 게이지 이론의 캐논ical 양자화를 일관되게 수행할 수 있는 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 리 대수 값을 갖는 게이지 매개변수를 구하기 위해 타원형 편미분방정식을 푸는 방식으로 일반화된 쿨롱 게이지 조건을 정의한다.
• 게이지 매개변수에 대한 선형 타원형 방정식을 풀어 게이지 조건을 만족시키는 게이지 변환을 구성한다.
• 게이지 조건이 가우스의 법칙을 시간 도함수 없이 공간 성분의 게이지 퍼텐셜로만 표현하도록 보장한다.
• 컴팩트 반단순 리 군의 성질을 이용해 타원형 연산자가 자기수반이고 유일한 해를 갖도록 보장한다.
• 게이지 고정 조건이 타원형 방정식의 성질 덕분에 전역적으로 잘 정의되고 그리보프 복사본을 피할 수 있음을 입증한다.
• 함수 해석학적 방법을 적용하여 적절한 함수 공간에서 게이지 고정 해의 존재성과 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아벨 쿨롱 게이지 조건은 임의의 컴팩트 반단순 게이지 군을 가진 비아贝尔 양-밀스 이론에 대해 일관되게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 일반화된 쿨롱 게이지 조건은 가우스의 법칙에서 시간 도함수를 제거하여 캐논리컬 기반을 가능하게 하는가?
• RQ3 게이지 고정 조건은 전역적으로 잘 정의되어 있으며 그리보프 모호성을 피하는가?
• RQ4 일반화된 쿨롱 게이지에 도달하기 위해 필요한 게이지 변환을 지배하는 미분방정식의 유형은 무엇인가?
• RQ5 타원형 편미분방정식 이론을 사용하여 게이지 조건의 존재성과 유일성을 엄밀히 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 리 대수 값을 갖는 게이지 매개변수를 통해 쿨롱 게이지의 일관된 일반화가 이루어졌다.
• 일반화된 게이지 조건은 가우스의 법칙에서 시간 도함수를 제거하여 순수하게 공간적인 제약 조건을 유도한다.
• 게이지 매개변수에 대한 잘 정의된 선형 타원형 편미분방정식을 풀어 게이지의 존재성과 유일성이 보장된다.
• 게이지 고정 조건이 타원형 방정식의 해가 유일하도록 하므로 이 게이지에서는 그리보프 문제가 발생하지 않는다.
• 이 방법은 임의의 컴팩트 반단순 게이지 군에 적용 가능하므로 표준 비아벨 게이지 이론에 널리 적용 가능하다.
• 이 구성은 그리보프 모호성이 없는 양-밀스 이론의 캐논리컬 양자화를 위한 견고한 기초를 제공한다.