[논문 리뷰] The generalized Abel-Plana formula with applications to Bessel functions and Casimir effect

A. A. Saharian|ArXiv.org|2007. 08. 08.

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect참고 문헌 156인용 수 115

한 줄 요약

이 논문은 복소수 순서를 가진 수정 베타 함수와 베타 함수의 영점에 대한 복소수 급수에 적용 가능한 일반화된 야곱-플라나 공식(GAPF)을 도입한다. 이 방법은 구형, 원통형, 가속된 경계에서 캐시미어 효과의 진공 기대값(VEVs)을 절단값에 영향을 받지 않게 평가할 수 있게 하며, 경계 유도 기여를 강력 수렴하는 적분과로 분리하고, 양자화를 단순화하여 배경만 고려하는 절차로 환원한다.

ABSTRACT

One of the most efficient methods for the evaluation of the vacuum expectation values for physical observables in the Casimir effect is based on using the Abel-Plana summation formula. This enables to derive the renormalized quantities in a manifestly cutoff independent way and to present them in the form of strongly convergent integrals. However, applications of the Abel-Plana formula, in its usual form, are restricted by simple geometries when the eigenmodes have a simple dependence on quantum numbers. The author generalized the Abel-Plana formula which essentially enlarges its application range. Based on this generalization, formulae have been obtained for various types of series over the zeros of combinations of Bessel functions and for integrals involving these functions. It has been shown that these results generalize the special cases existing in literature. Further, the derived summation formulae have been used to summarize series arising in the direct mode summation approach to the Casimir effect for spherically and cylindrically symmetric boundaries, for boundaries moving with uniform proper acceleration, and in various braneworld scenarios. This allows to extract from the vacuum expectation values of local physical observables the parts corresponding to the geometry without boundaries and to present the boundary-induced parts in terms of integrals strongly convergent for the points away from the boundaries. As a result, the renormalization procedure for these observables is reduced to the corresponding procedure for bulks without boundaries. The present paper reviews these results. We also aim to collect the results on vacuum expectation values for local physical observables such as the field square and the energy-momentum tensor in manifolds with boundaries for various bulk and boundary geometries.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 형태가 선형 양자 수 의존성만을 가지는 경우를 초월하여 야곱-플라나 공식의 적용 범위를 확장하기 위해.
• 복소수 순서를 가진 베타 함수와 수정 베타 함수의 조합 영점에 대한 급수를 위한 합공식 유도를 위해.
• 경계가 있는 시공간에서 장 제곱 및 에너지-운동량 텐서의 진공 기대값(VEVs)을 명백하게 절단값에 영향을 받지 않게 계산할 수 있도록 하기 위해.
• VEVs를 배경 기여와 경계 유도 기여로 분해하여 기하학적 구조에 따라 달라지는 기여를 분리함으로써 양자화를 단순화하기 위해.
• 이 일반화된 체계를 다양한 물리계에 적용하기 위해: 구형 및 원통형 경계, 등가속 운동하는 판, 브레인월드 시나리오.

제안 방법

• 복소 해석적 구조를 가지며 허수축에 영점이 존재하는 함수에 적용 가능한 일반화된 야곱-플라나 공식(GAPF)을 유도하기 위해.
• GAPF를 $ Z_{i\tilde{\omega}}(u,v) $, $ \bar{K}_{iz}(\eta) $, 및 $ Z_{iz}(u,v) $의 영점에 대한 급수에 적용하여, 경계 문제의 고유주파수 스펙트럼에서 나타나는 급수에 적용하기 위해.
• GAPF를 사용하여 위트먼 함수를 배경 부분과 경계 유도 부분으로 분해하고, 둘 다 절대 수렴하는 적분으로 표현하기 위해.
• 유도된 합공식을 $ R^D \times S^1 $, 평행한 판, 구형 셸, 원통형 경계를 포함한 다양한 기하학에서 모드 합 캐시미어 에너지 및 응력 계산에 적용하기 위해.
• 이 체계를 사용하여 경계가 존재하는 영역에서 장 제곱 및 에너지-운동량 텐서(EMT)의 VEVs를 계산하고, 발산하는 배경 기여와 유한한 경계 유도 기여를 분리하기 위해.
• GAPF를 복사 모드를 합하는 방식으로 해螺旋 운동을 하는 매질 원통 내에서의 복사 문제에 적용하기 위해, 유도된 급수 공식을 사용하여 고유모드를 합하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 야곱-플라나 공식을 복소수 또는 허수 순서를 가진 베타 함수의 영점에 대한 급수를 다룰 수 있도록 일반화할 수 있는가?
• RQ2 일반화된 공식을 사용하여 비선형 대칭성을 가진 캐시미어 효과에서 절단값에 영향을 받지 않는 유한한 표현식을 얻을 수 있는가?
• RQ3 VEVs에서 경계 유도 기여를 얼마나 잘 분리하고, 빠르게 수렴하는 적분으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 GAPF는 어떤 방식으로 구형, 원통형 또는 가속된 경계를 가진 시스템에서 양자화를 단순화하여, 이를 단지 배경만 고려하는 경우로 환원하는가?
• RQ5 GAPF는 우주 끈이나 라인델러 와이드와 같은 비틀린 또는 비틀린 시공간에서의 브레인월드 모델과 진공 극화에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 일반화된 야곱-플라나 공식(GAPF)은 기존의 야곱-플라나 방법을 복소수 또는 허수 순서를 가진 베타 함수와 수정 베타 함수의 영점에 대한 급수로 성공적으로 확장하였다. 예를 들어 $ \bar{K}_{iz}(\eta) $ 및 $ Z_{iz}(u,v) $ 와 같은 함수들에 대해 적용 가능하다.
• GAPF를 통해 위트먼 함수를 배경 부분과 경계 유도 부분으로 분해할 수 있으며, 후자는 강력 수렴하는 적분으로 표현되어 절단값에 영향을 받지 않는 VEVs 평가가 가능해진다.
• 구형 경계가 존재하는 글로벌 모노폴 백그라운드에서 스칼라 장의 경우, 진공 에너지-운동량 텐서(EMT)와 장 제곱 VEVs는 GAPF를 통해 계산되며, 경계 유도 부분은 수렴하는 적분으로 주어진다.
• 라인델러 진공에서 등가속 운동하는 두 판의 경우, 장 제곱 및 EMT의 VEVs는 단일 판 기여와 상호작용 기여로 분리되며, 후자는 GAPF를 통해 유도되고 수렴하는 적분으로 표현된다.
• 두 개의 평평한 브레인을 가진 AdS 배경에서의 브레인월드 시나리오의 경우, 고유주파수는 베타 함수의 조합의 영점이며, GAPF를 통해 단일 브레인 및 상호작용 기여를 VEVs에서 추출할 수 있다.
• 이 체계는 원통형 및 구형 기하학에서의 전자기 캐시미어 밀도에 적용되었으며, 경계 사이 영역에서 EMT 및 장 제곱에 대해 유한하고 양자화된 표현식을 도출하였으며, 스칼라 및 전자기 장에 대해 명시적인 공식을 제공하였다.