[논문 리뷰] The (Generalized) Orthogonality Dimension of (Generalized) Kneser Graphs: Bounds and Applications

Alexander Golovnev, Ishay Haviv|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 20.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 39인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 실수 위에서 그래프의 직교 차원을 근사하는 데 있어 최초의 NP-난이도 결과를 확립하며, 어떤 상수 c에 대해 충분히 큰 t에 대해 직교 차원이 최대 t인지 또는 적어도 3t/2 − c인지 구분하는 것이 NP-난이도임을 보여준다. 또한, 모든 유한체 위에서 삼각형을 포함하지 않는 n-정점 그래프를 명시적으로 구성하여, 그 직교 차원이 n^{1−δ} 이하임을 보이며, 유한체 위에서의 홀수 교호적 순환 추측을 반증하고, 일반화된 케네저 그래프에 대한 minrank 한계를 통해 회로 복잡도 이론을 발전시킨다.

ABSTRACT

The orthogonality dimension of a graph $G=(V,E)$ over a field $\mathbb{F}$ is the smallest integer $t$ for which there exists an assignment of a vector $u_v \in \mathbb{F}^t$ with $\langle u_v,u_v angle eq 0$ to every vertex $v \in V$, such that $\langle u_v, u_{v'} angle = 0$ whenever $v$ and $v'$ are adjacent vertices in $G$. The study of the orthogonality dimension of graphs is motivated by various applications in information theory and in theoretical computer science. The contribution of the present work is two-fold. First, we prove that there exists a constant $c$ such that for every sufficiently large integer $t$, it is $\mathsf{NP}$-hard to decide whether the orthogonality dimension of an input graph over $\mathbb{R}$ is at most $t$ or at least $3t/2-c$. At the heart of the proof lies a geometric result, which might be of independent interest, on a generalization of the orthogonality dimension parameter for the family of Kneser graphs, analogously to a long-standing conjecture of Stahl (J. Comb. Theo. Ser. B, 1976). Second, we study the smallest possible orthogonality dimension over finite fields of the complement of graphs that do not contain certain fixed subgraphs. In particular, we provide an explicit construction of triangle-free $n$-vertex graphs whose complement has orthogonality dimension over the binary field at most $n^{1-δ}$ for some constant $δ>0$. Our results involve constructions from the family of generalized Kneser graphs and they are motivated by the rigidity approach to circuit lower bounds. We use them to answer a couple of questions raised by Codenotti, Pudlák, and Resta (Theor. Comput. Sci., 2000), and in particular, to disprove their Odd Alternating Cycle Conjecture over every finite field.

연구 동기 및 목표

• 실수 위에서 그래프의 직교 차원을 근사하는 데 있어 계산 난이도를 확립하기.
• 유한체 위에서 일반화된 케네저 그래프의 minrank와 직교 차원을 분석하여 회로 복잡도 분야의 미해결 문제를 해결하기.
• 낮은 minrank와 짧은 홀수 사이클이 없는 그래프의 명시적 구성 방법을 통해, 모든 유한체 위에서 홀수 교호적 순환 추측을 반증하기.

제안 방법

• 케네저 그래프에 대한 일반화된 직교 차원에 관한 기하학적 결과를 증명하였으며, 이는 스탈의 추측과 유사하다.
• 유한체 위에서 대칭 행렬 표현을 사용하여, 이항계수의 합에 대한 조합적 한계를 통해 일반화된 케네저 그래프 K<(d, d/2, m)의 minrank를 유 bounds로 제한하였다.
• 렘펠의 결과를 적용하여, F2 위에서 낮은 랭크를 갖는 대칭 행렬이 낮은 차원의 직교 표현을 유도함을 보였다.
• 이항계수의 이진 엔트로피 함수 H(p)를 활용하여 크기가 최대 d/2 − m인 부분집합의 수를 유 bounds로 제한함으로써, 비선형 minrank 한계를 가능하게 하였다.
• K<(d, d/2, m)에서 m = d/(2ℓ)로 선택하여, 짧은 길이의 홀수 사이클이 없는 그래프를 구성함으로써, 희박한 교차 성질을 확보하였다.
• 그래프 G의 minrank와 그 여집합의 minrank 사이의 이중성을 활용하여, minrank(G)의 상한을 바탕으로 하한을 도출함으로써, 벡터 색칠 수와 minrank 사이의 분리 성질을 증명하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실수 위에서 그래프의 직교 차원을 4/3보다 더 좋은 요인으로 근사하는 것은 NP-난이도인가?
• RQ2 F2 위에서 n에 대해 상당히 비선형적인 수준의 직교 차원을 갖는 삼각형을 포함하지 않는 그래프의 명시적 구성이 가능할 수 있는가?
• RQ3 홀수 교호적 순환 추측은 모든 유한체 위에서 성립하는가, 특히 minrank와 직교 차원의 맥락에서?
• RQ4 유한체 위에서 일반화된 케네저 그래프 K<(d, s, m)의 minrank에 대해 가장 날카로운 상한은 무엇인가?
• RQ5 벡터 색칠 수가 유계일지라도, 그래프의 벡터 색칠 수와 minrank 사이에 분리가 존재할 수 있는가?

주요 결과

• 어떤 상수 c에 대해 충분히 큰 t에 대해, 실수 위에서 그래프의 직교 차원이 최대 t인지 또는 적어도 3t/2 − c인지 결정하는 것은 NP-난이도이다.
• 모든 홀수 정수 ℓ ≥ 3에 대해, δ = δ(ℓ) > 0이 존재하여 충분히 큰 n에 대해 n-정점 삼각형을 포함하지 않는 그래프 G가 존재하며, 모든 유한체 F에 대해 minrkF(G) ≤ n^{1−δ}를 만족한다.
• 코데나티, 푸드라크, 레스타의 홀수 교호적 순환 추측은 모든 유한체 위에서 반증되었으며, 짧은 홀수 사이클이 없고 minrank가 낮은 명시적 그래프가 존재하기 때문이다.
• 일반화된 케네저 그래프 K<(d, d/2, d/8)에 대해, 어떤 유한체 위에서의 minrank는 최대 2^{H(3/8)·d} = o(n)이며, 여기서 n = (d choose d/2)이므로 minrank(G) ≤ n^{1−δ} (δ < 1 − H(3/8))를 유도한다.
• K<(d, d/2, d/8)의 벡터 색칠 수는 최대 3이지만, minrank는 o(n)이므로, 벡터 색칠 수와 minrank 사이에 초선형 분리가 존재함을 보여준다.
• 이러한 그래프의 여집합의 minrank는 δ < 1 − H(3/8)일 때 n^δ 이상이므로, 이 구성에서 minrank와 그 여집합의 minrank 사이에 강력한 이중성이 존재함을 보여준다.