[논문 리뷰] The generalized quadratic covariation for fractional Brownian motion with Hurst index less than 1/2

Litan Yan, Chao Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 허스트 지수 $H < 1/2$ 인 분수 Brown 운동에 대해 측정 가능한 함수들의 새로운 바나흐 공간 $\mathscr{H}_*$ 를 통해 일반화된 이차 공분산 $[f(B^H), B^H]^{(W)}$ 가 존재함을 증명한다. 이는 공분산과 가중 국소 시간 사이의 브울로-요르 유형의 항등식을 유도하고, $\mathscr{H}_*$ 에 속하는 도함수가 있는 절대 연속 함수에 대해 분수 Itô 공식을 유도함으로써, 비마르코프성 및 비세미마르팅글 프로세스로의 확률 미적분학을 확장한다.

ABSTRACT

Let $B^H$ be a fractional Brownian motion with Hurst index $0

연구 동기 및 목표

• 허스트 지수 $H < 1/2$ 인 분수 Brown 운동으로의 일반화된 이차 공분산 이론을 확장하고, 기존 방법이 실패하는 경우를 다루기 위해.
• 일반화된 이차 공분산이 $L^2$ 에서 존재하도록 보장하는 측정 가능한 함수들의 바나흐 공간 $\mathscr{H}_*$ 를 정의하기 위해.
• 공분산과 $B^H$ 의 가중 국소 시간 $\mathscr{L}^H$ 를 연결하는 브울로-요르 항등식을 수립하기 위해.
• 도함수가 $\mathscr{H}_*$ 에 속하는 절대 연속 함수에 대해 $H < 1/2$ 에서도 유효한 분수 Itô 공식을 도출하기 위해.
• 시간에 의존하는 함수로의 결과 확장을 다루고, 연속 곡선 沿해 가중 국소 시간을 정의하기 위해.

제안 방법

• 일반화된 이차 공분산을 극한을 통해 정의한다: $[f(B^H), B^H]^{(W)}_t = \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \frac{2H}{\varepsilon^{2H}} \int_0^t \{f(B^H_{s+\varepsilon}) - f(B^H_s)\}(B^H_{s+\varepsilon} - B^H_s)s^{2H-1}ds$.
• 모리피어르 근사와 도함수의 $L^2$-노름 제어를 이용해 바나흐 공간 $\mathscr{H}_*$ 를 구성한다.
• 적분의 분해와 차분 연산자의 $L^2$-유계성에 기반해 공분산의 $L^2$ 에서 존재성을 증명한다.
• 브울로-요르 항등식 수립: $f \in \mathscr{H}_*$ 에 대해 $[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t = -\int_0^t \int_\mathbb{R} f(x,s) \mathscr{L}^H(dx,ds)$.
• 모리피어르 $\zeta_n$ 를 이용한 스무딩 절차를 통해 $C^{1,1}$ 함수를 근사하고, $H < 1/2$ 영역으로의 Itô 공식을 확장한다.
• 연속 곡선 $a(t)$ 에 따라 가중 국소 시간을 $\mathscr{L}^H(a(\cdot), t) = \int_0^t \int_\mathbb{R} \mathbf{1}_{(-\infty, a(s))}(x) \mathscr{L}^H(dx, ds)$ 로 정의하고, $L^2$ 에서 증가성과 연속성을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허스트 지수 $H < 1/2$ 이고 적절한 $f$ 에 대해 일반화된 이차 공분산 $[f(B^H), B^H]^{(W)}$ 가 $L^2$ 에서 존재하는가?
• RQ2 허스트 지수 $H < 1/2$ 에서 공분산과 가중 국소 시간 $\mathscr{L}^H$ 를 연결하는 브울로-요르 유형의 항등식을 수립할 수 있는가?
• RQ3 $H < 1/2$ 에서 일반화된 이차 공분산을 포함하는 수정항을 가진 분수 Itô 공식이 존재하는가?
• RQ4 허스트 지수 $H < 1/2$ 에서 연속 곡선을 따라 $B^H$ 의 가중 국소 시간을 정의할 수 있는가?
• RQ5 $H < 1/2$ 에서 일반화된 이차 공분산의 $L^2$ 존재성을 보장하는 함수 공간 $\mathscr{H}_*$ 는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $t \in [0,T]$ 에 대해 $f \in \mathscr{H}_*$ 이면 일반화된 이차 공분산 $[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t$ 가 $L^2$ 에서 존재하며, $\mathbb{E}\left|[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t\right|^2 \leq C_H \|f\|_{\mathscr{H}_*}^2$ 를 만족한다.
• 브울로-요르 항등식이 성립한다: $f \in \mathscr{H}_*$ 이고 $H < 1/2$ 이면 $[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t = -\int_0^t \int_\mathbb{R} f(x,s) \mathscr{L}^H(dx, ds)$.
• 분수 Itô 공식이 수립된다: $F(B^H_t, t) = F(0,0) + \int_0^t f(B^H_s, s) dB^H_s + \int_0^t \partial_t F(B^H_s, s) ds + \frac{1}{2}[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t$, $F \in C^{1,1}$ 이고 $f = \partial_x F \in \mathscr{H}_*$ 일 때 유효하다.
• 가중 국소 시간 $\mathscr{L}^H(a(\cdot), t)$ 는 연속 곡선 $a(t)$ 에 대해 $L^2$ 에서 증가성과 연속성을 갖는 잘 정의된 과정이며, 적분 표현식 $\int_0^t \int_\mathbb{R} \mathbf{1}_{(-\infty, a(s))}(x) \mathscr{L}^H(dx, ds)$ 를 통해 정의된다.
• $\mathscr{H}_*$ 는 모리피어르 근사를 통해 구성되며, 도함수가 가중 측도 $s^{2H-1}ds$ 에 대해 $L^2$-적분 가능한 함수들을 포함한다. 이는 공분산의 $L^2$-유계성을 보장한다.
• 기존의 접근 방식이 실패하는 $H < 1/2$ 의 경우를 극복하는 데 성공하였으며, $H > 1/2$ 에서 사용된 표준적인 시간 반전 및 적분 분해 기법이 $H < 1/2$ 에서는 효과가 없음을 고려하여 성공적으로 해결하였다.