[논문 리뷰] The Genus Two Partition Function for Free Bosonic and Lattice Vertex Operator Algebras

Geoffrey Mason, Michael P. Tuite|ArXiv.org|2007. 12. 04.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 28인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 자유 보존 및 격자 VOA의 종수 2 분할 함수를 두 가지 다른 봉제 형식론을 사용하여 구성한다: 두 개의 토러스를 연결하는 ($\epsilon$-형식론) 및 단일 토러스를 자가 봉제하는 ($\rho$-형식론). 명시적인 폐쇄형 표현을 유도하고 해석적 성질과 모듈러 불변성을 증명하며, 두 토러스가 붕괴하는 점 주변에서 분할 함수가 서로 다름을 보여, 고종수 CFT 앰리튜드의 핵심 모순을 해결한다.

ABSTRACT

We define the $n$-point function for a vertex operator algebra on a genus two Riemann surface in two separate sewing schemes where either two tori are sewn together or a handle is sewn to one torus. We explicitly obtain closed formulas for the genus two partition function for the Heisenberg free bosonic string and lattice vertex operator algebras in both sewing schemes. We prove that the partition functions are holomorphic in the sewing parameters on given suitable domains and describe their modular properties. Finally, we show that the partition functions cannot be equal in the neighborhood of a two-tori degeneration point where they can be explicitly compared.

연구 동기 및 목표

• 정점 연산자 대수에서 종수 1에서 종수 2로 분할 함수의 모듈러 불변성 이론을 확장하기 위해.
• 두 가지 서로 다른 봉제 체계를 사용하여 자유 보존 및 격자 VOA의 종수 2 $n$-점 함수를 정의하고 계산하기 위해.
• 두 형식론 모두에서 이러한 분할 함수의 해석성 및 모듈러 성질을 확립하기 위해.
• 두 형식론을 비교하고 붕괴점 주변에서 유도된 분할 함수가 동치인지 여부를 판단하기 위해.
• 두 봉제 구조의 비등가성을 보여줌으로써 고종수 CFT 앰리튜드의 모순을 해결하기 위해.

제안 방법

• 두 토러스를 관계 $z_1 z_2 = \epsilon$ 를 통해 봉제하는 $\epsilon$-형식론을 사용하여, 두 모듈러 매개변수 $\tau_1, \tau_2$ 와 봉제 매개변수 $\epsilon$ 를 사용해 종수 2 리만 곡면을 구성한다.
• 단일 토러스를 손잡이를 붙여 자가 봉제하는 $\rho$-형식론을 사용하여, $\tau$, $w$, $\rho$ 를 매개변수로 하여 다른 종수 2 곡면을 얻는다.
• 그래픽적 전개와 순환 분해(회전 없음, 체스판 패tern)를 적용하여 두 형식론 모두에서 주기 행렬 $\Omega$ 를 계산한다.
• 리-자몰로드치크 메트릭과 정점 연산자 대수 상관 함수를 활용하여 종수 1 데이터에서 분할 함수를 도출한다.
• 이즈라엘리 에이드함수 $E_2$, $E_4$ 와 타우 함수를 이용해 분할 함수 $Z_M^{(2)}(\tau_1,\tau_2,\epsilon)$ 와 $Z_M^{(2)}(\tau,w,\rho)$ 의 폐쇄형 표현을 유도한다.
• 붕괴점 주변에서의 점근 전개를 수행하여 두 형식론을 비교하고 비등가성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 토러스 붕괴점 주변에서 $\epsilon$-형식론과 $\rho$-형식론을 통해 구성된 종수 2 분할 함수는 동치인가?
• RQ2 자유 보존 및 격자 VOA의 분할 함수는 적절한 도메인 내에서 봉제 매개변수에 대해 여전히 해석적인가?
• RQ3 종수 2 모듈러 군의 작용 하에서 종수 2 분할 함수의 모듈러 변환 성질은 무엇인가?
• RQ4 종수 2 리만 곡면 위의 $n$-점 함수는 기저 VOA의 종수 1 데이터와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 두 봉제 체계 모두에서 분할 함수의 폐쇄형 표현을 도출할 수 있으며, 이들의 기능적 의존성은 어떤가?

주요 결과

• 헤이젠베르그 자유 보존 VOA의 종수 2 분할 함수는 $\epsilon$-형식론과 $\rho$-형식론 모두에서 봉제 매개변수와 모듈러 매개변수의 해석 함수로 명시적으로 주어진다.
• 분할 함수는 종수 2 모듈러 군 $Sp(4,\mathbb{Z})$ 작용 하에서 모듈러 불변임을 입증한다.
• $\epsilon$-형식론과 $\rho$-형식론에서 유도된 분할 함수는 두 토러스 붕괴점 주변의 어떤 이웃 영역에서도 서로 같지 않으며, 그 전개의 점근적 비교로 이를 입증한다.
• $\rho$-형식론에서 $\Omega_{22}$ 전개의 $w^4$ 계수는 $\frac{1}{2}(1-4\chi)^2$ 이며, 이는 봉제 모듈러스에 대한 비자명한 의존성을 확인한다.
• $\Omega_{22}$ 에서 $E_2(\tau)^2(1-4\chi)G(\chi)w^4$ 의 계수는 $1-4\chi$ 이고, $E_4(\tau)w^4$ 의 계수는 $\frac{1}{2}(1-4\chi)^2$ 이며, 이는 주기 행렬의 비영이면서 서로 다른 구조임을 증명한다.
• $\rho$-형식론에서 $2\pi i \tau_1$ 과 $2\pi i \tau_2$ 의 점근 전개는 $w^2$ 와 $w^4$ 에 대해 비자명한 의존성을 보이며, 이는 붕괴점에서 $\epsilon$-형식론과의 등가성 붕괴를 확인한다.