[논문 리뷰] The Geometric M\"obius function and quadratic character sums

Mark Shusterman|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 12.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 함수체에서 짧은 M"obius 합과 곱셈적 특성합 사이의 연결을 수립하며, 후자의 제어가 전자의 상쇄를 보장함을 보여준다. 버거스 추정을 사용하여 큰 모듈로를 가진 산술적 등차수열에서 M"obius 상쇄를 증명하고, 특성 3에서 기하학적 M"obius 함수가 제곱근 장벽 이하의 간격에서 부호를 바꾸는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

We show that in order to obtain cancellation in short M\obius sums over function fields, it suffices to control short multiplicative character sums. In conjunction with the Burgess bound, this allows us to obtain M\obius cancellation in certain arithmetic progressions with large moduli. Furthermore, we show that in characteristic $3$, the geometric M\obius function changes sign in intervals below the square root barrier.

연구 동기 및 목표

• 함수체에서 짧은 M"obius 합과 짧은 곱셈적 특성합 사이의 연결을 수립하기 위해.
• 버거스 추정을 활용하여 큰 모듈로를 가진 산술적 등차수열에서 M"obius 함수의 상쇄를 달성하기 위해.
• 제곱근 장벽 이하의 간격에서 기하학적 M"obius 함수의 부호 변화를 조사하기 위해.
• 특성 3에서 기하학적 M"obius 함수의 행동을 분석하기 위해.

제안 방법

• M"obius 합 상쇄 문제를 짧은 곱셈적 특성합 제어로 환원한다.
• 곱셈적 특성합에 버거스 추정을 적용하여 M"obius 합의 상쇄를 도출한다.
• 대수기하학과 함수체 기법을 사용하여 기하학적 M"obius 함수를 분석한다.
• 특성 3에 초점을 두어 제곱근 장벽 이하 간격에서의 부호 변화를 연구한다.
• 특성합 추정을 포함한 함수체 위의 해석적 수론 도구를 활용한다.
• 기하학적 부호 변화 결과를 유도하기 위해 함수체의 제타함수와 제타방정식의 구조에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체에서 짧은 M"obius 합의 상쇄는 짧은 곱셈적 특성합의 제어로부터 유추될 수 있는가?
• RQ2 함수체에서 큰 모듈로를 가진 산술적 등차수열에서 버거스 추정이 M"obius 상쇄를 어느 정도 가능하게 하는가?
• RQ3 특성 3에서 제곱근 장벽 이하 간격에서 기하학적 M"obius 함수는 부호를 바꾸는가?
• RQ4 특성 3에서 함수체의 어떤 구조적 성질이 기하학적 M"obius 함수의 부호 변화를 규정하는가?

주요 결과

• 함수체에서 짧은 M"obius 합의 상쇄는 짧은 곱셈적 특성합의 제어에 의해 유도된다.
• 버거스 추정은 함수체에서 큰 모듈로를 가진 산술적 등차수열에서 M"obius 합의 비자명한 상쇄를 가능하게 한다.
• 특성 3에서는 기하학적 M"obius 함수가 도함수의 제곱근 이하 길이의 간격에서 부호를 바꾼다.
• 기하학적 M"obius 함수의 부호 변화는 제곱근 장벽 이하의 간격에서 발생하여 비자명한 진동을 나타낸다.
• 결과들은 기하학적 M"obius 함수가 낮은 특성에서도 짧은 간격에서 부호가 일정하지 않음을 보여준다.