[논문 리뷰] The Geometrical Structure of Phase Space of the Controlled Hamiltonian System with Symmetry

Hong Wang|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 05.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 코타angent 번들의 위상공간에서 정의된 대칭성을 가진 제어 가능한 해밀토니안(CH) 시스템에 대해, Marsden-Weinstein 축소의 완비성 분석을 통해 엄밀한 기하학적 프레임워크를 수립한다. 축소 가능한 CH 시스템, CH-동치, 정규 점/궤도 축소의 정의를 도입하여, 심플렉틱 축소 공간이 RCH 구조를 상속함을 증명하고, 강체, 무거운 원추, 내부 로터를 가진 우주선과 같은 시스템을 제어 가능한 해밀턴-자코비 방정식의 제1형과 제2형을 통해 통일적으로 다룰 수 있도록 한다.

ABSTRACT

In this paper, from the viewpoint of completeness of Marsden-Weinstein reduction, we illustrate how to give the definitions of a controlled Hamiltonian (CH) system and a reducible controlled Hamiltonian system with symmetry; and how to describe the dynamics of a CH system and the controlled Hamiltonian equivalence; as well as how to give the regular point reduction and the regular orbit reduction for a CH system with symmetry, by analyzing carefully the geometrical and topological structures of the phase space and the reduced phase space of the corresponding Hamiltonian system. We also introduce briefly some recent developments in the study of reduction theory for the CH systems with symmetries and applications. These research work reveal the deeply internal relationships of the geometrical structures of phase spaces, the dynamical vector fields and controls of the CH systems.

연구 동기 및 목표

• 코타angent 번들의 위상공간에서 정의된 CH 시스템에 대해 Marsden-Weinstein 축소의 완비성 부족 문제를 단절 없이 해결하기 위해 위상공간과 축소된 위상공간 기하학을 분석한다.
• 대칭성을 가진 제어 가능한 해밀토니안(CH) 시스템과 축소 가능한 CH 시스템을 정의함으로써 축소된 시스템이 잘 정의됨을 보장한다.
• 제어에 의해 유도된 동적 구조 변화를 기술하기 위해 CH-동치, RpCH-동치, RoCH-동치를 수립한다.
• 모멘트 맵을 가진 CH 시스템에 대해 정규 점 및 궤도 축소 이론을 개발하여 심플렉틱 구조 보존을 보장한다.
• 축소된 RCH 시스템에 대해 제1형과 제2형 해밀턴-자코비 방정식을 유도함으로써 다양한 기계적 시스템에서의 불변 내부 역학을 드러낸다.

제안 방법

• 코타angent 번들의 위상공간과 축소된 위상공간에서 대칭성을 가진 해밀토니안 시스템의 기하학적 및 위상수학적 구조를 분석한다.
• 코타angent 번들에 대해 Marsden-Weinstein 축소를 적용하여 축소된 공간이 코타angent 번들임을 보장하는 조건(즉, 축소의 완비성)을 규명한다.
• 축소된 공간이 잘 정의된 심플렉틱 구조를 지닌다는 조건을 요구함으로써 정규 축소 가능한 제어 가능한 해밀토니안(RCH) 시스템의 개념을 도입한다.
• 제어 변환 하에서 운동 방정식 벡터장과 심플렉틱 형식의 동치성을 통해 CH-동치, RpCH-동치, RoCH-동치를 정의한다.
• 표준 및 축소된 심플렉틱 형식에 대한 기하학적 제약 조건을 분석하여 제1형과 제2형 해밀턴-자코비 방정식을 도출한다.
• 강체, 무거운 원추, 내부 로터를 가진 우주선 등의 구체적 시스템에 프레임워크를 적용하여 축소 및 해밀턴-자코비 구조의 정합성을 확인하기 위해 상세한 계산을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코타angent 번들의 위상공간에서 정의된 CH 시스템에 대해 Marsden-Weinstein 축소가 완비가 되기 위한 기하학적 및 위상수학적 조건은 무엇인가?
• RQ2 대칭성을 가진 제어 가능한 해밀토니안 시스템을 어떻게 정의하면 그 축소된 시스템이 잘 정의된 해밀토니안 시스템이 되는가?
• RQ3 두 CH 시스템이 CH-동치가 되기 위한 정확한 조건은 무엇이며, 이러한 동치관계는 정규 점 및 궤도 축소와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 정규 점 축소된 RCH 시스템의 기하학적 구조로부터 제1형과 제2형 해밀턴-자코비 방정식은 어떻게 유도되는가?
• RQ5 다른 물리적 구성(예: 강체 vs. 내부 로터를 가진 무거운 원추)을 가진 시스템에서도 동일한 형태의 해밀턴-자코비 방정식이 유도될 수 있는가? 이는 그들의 기저 역학에 대해 무엇을 시사하는가?

주요 결과

• 코타angent 번들의 위상공간에서 정의된 CH 시스템의 Marsden-Weinstein 축소는 항상 완비되지 않으며, 축소된 공간이 코타angent 번들일 수 없어, 축소 가능한 CH 시스템의 정의를 보완할 필요가 있다.
• 정규 축소 가능한 제어 가능한 해밀토니안(RCH) 시스템은 정규 점 및 궤도 축소가 잘 정의된 심플렉틱 다양체를 제공하여 RCH 역학이 잘 정의됨을 보장한다.
• $R_p$-축소된 제어 가능한 강체-로터 및 무거운 원추-로터 시스템은 모두 심플렉틱 잎에서 RCH 시스템이 되며, 이는 $R_p$-축소를 통한 통일된 다루기 가능성을 보장한다.
• 강체-로터 및 무거운 원추-로터 시스템의 $R_p$-축소된 해밀턴-자코비 방정식은 서로 다른 구성공간과 해밀토니안을 가짐에도 불구하고 형식이 동일하다. 이는 깊이 있는 구조적 불변성의 존재를 시사한다.
• 정규 점 축소 및 해밀턴-자코비 유도 방법은 우주선-로터 및 수중 차량-로터 시스템에 일반화되어 성공적으로 적용되었으며, 이는 광범위한 적용 가능성을 확인한다.
• RCH 시스템의 운동 방정식에 대한 표준 및 축소된 심플렉틱 형식의 기하학적 제약 조건이 정확히 유도되었으며, 이는 두 종류의 해밀턴-자코비 방정식과 정확히 대응한다.