[논문 리뷰] The geometry of Lie algebroids and its applications to optimal control

Liviu Popescu|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 21.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 90인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리 대수층을 사용한 기하학적 프레임워크를 개발하여 비환원성 및 분포계 시스템과 같은 최적 제어 문제를 통합적으로 다룬다. 리 대수층 위에서 라그랑주 및 해밀턴 역학을 일반화하고, 비선형 접속과 계량 구조를 통해 운동 방정식을 유도하며, 히젠베르크 군과 같은 부분 리만 기하학계 시스템에 이 formalism을 적용하여 타원 적분으로 표현되는 명시적 지오데식 해를 곡률 및 이방성 매개변수에 따라 매개변수화한다.

ABSTRACT

The paper presents the geometry of Lie algebroids and its applications to optimal control. The first part deals with the theory of Lie algebroids, connections on Lie algebroids and dynamical systems defined on Lie algebroids (mainly Lagrangian and Hamiltonian systems). In the second part we use the framework of Lie algebroids in the study of distributional systems (drift less control affine systems) with holonomic or nonholonomic distributions.

연구 동기 및 목표

• 제약 조건이 있는 최적 제어 시스템을 모델링하고 분석하기 위한 리 대수층 기반 기하학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 리 대수층의 구조를 사용하여 전통적인 탄성 및 쌍대 다발 설정을 초월한 라그랑주 및 해밀턴 역학을 일반화하기 위해.
• 특수한 또는 비정칙 라그랑주 시스템에서 표준 레전드르 변환이 제한되는 문제를 해결하기 위해 리 대수층의 쌍대 및 파아손 구조를 사용하기 위해.
• 홀로노믹 및 비환원성 분포계 시스템, 특히 히젠베르크 및 그루시신 케이스와 같은 부분 리만 기하학을 포함한 통합적 접근을 제공하기 위해.
• 리 대수층 위에서 비선형 접속, 곡률 및 계량 구조를 사용하여 이러한 시스템의 운동 방정식을 유도하고 해를 구하기 위해.

제안 방법

• 앵커 사상과 섹션 위의 리 괄호를 사용하여 리 대수층의 기하학, 특히 접속, 곡률, 토르션 및 코homology를 형식화하기 위해.
• 총 다발 $\mathcal{T}E$ 및 $\mathcal{T}E^*$ 위에서 비선형 및 선형 접속을 정의하기 위해, 벡터 다발의 사영 위에 리 대수층의 연장(프로롱게이션)을 도입하기 위해.
• 운동 방정식의 SODE(이阶 미분 방정식) 시스템을 유도하기 위해, 동역학적 공변미분과 계량 비선형 접속을 사용하기 위해.
• 쌍대 다발 위의 표준 파아손 구조를 사용하여 $\mathcal{J}$-정규 섹션을 통한 리 대수층 위의 해밀턴 형식을 적용하고 해밀턴 방정식을 유도하기 위해.
• 비선형 접속, 곡률 및 계량 구조를 사용하여 부분 리만 기하학계 시스템에 이 형식을 적용하기 위해, 이방성 매개변수 $\varepsilon$를 포함한 해밀턴ian $\mathcal{H}$를 정의하고 삼각함수 및 유리함수 치환을 통해 방정식을 풀기 위해.
• 시스템을 각도 좌표 $\theta$로 변환하고, $\mathcal{H}=1/2$ 조건에 의해 고정된 $c=\pm1$에 따라, $\theta$에 대한 명시적 지오데식 해를 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 대수층 기하학은 비환원성 및 분포계 제어 시스템에 대한 라그랑주 및 해밀턴 형식을 일반화하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ2 비선형 접속과 계량 접속은 리 대수층 위에서 동역학적 시스템을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 리 대수층의 구조 계수 $L_{\alpha\beta}^{\gamma}$는 해밀턴 및 라그랑주 형식에서 운동 방정식에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 비용 함수가 비제곱형일 때(즉, $\varepsilon \neq 0$) 히젠베르크 군과 같은 부분 리만 기하학계 시스템의 지오데식에 대한 명시적 해는 무엇인가?
• RQ5 매개변수 $\varepsilon$는 일반화된 부분 리만 기하학 설정에서 지오데식의 곡률과 주기성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 쌍대 다발 $\mathcal{T}E^*$ 위의 표준 파아손 구조를 사용하여 리 대수층 위에서 운동 방정식의 해밀턴 방정식을 도출하였으며, 비영인 구조 함수 $L_{12}^{3}=1$ 및 $L_{21}^{3}=-1$를 포함한다.
• 부분 리만 히젠베르크 유형 시스템의 경우, 지오데식은 길이에 따라 매개변수화되며, 이는 해밀턴ian 수준을 $\mathcal{H}=1/2$로 고정시켜 반경 해의 $r=1/(1-\varepsilon(a\cos A\theta - b\sin A\theta))$에서 $c=\pm1$이 된다.
• 좌표에 대한 명시적 해가 도출되었으며, $x^1(\theta) = \frac{\sqrt{1-\varepsilon^2}(a\sin A\theta + b\cos A\theta)}{\lambda(1 - \varepsilon(a\cos A\theta - b\sin A\theta))} - \frac{\sqrt{1-\varepsilon^2}b}{\lambda(1 - \varepsilon a)}$와 유사한 표현이 $x^2$ 및 $x^3$에 대해 성립한다.
• $x^3$ 좌표는 유리 삼각함수 표현의 적분을 통해 도출되었으며, $x^3(\theta) = \frac{(1-\varepsilon^2)^{3/2}A}{2\lambda^2(1 - \varepsilon a)} \int \frac{1 - \cos A\theta}{(1 - \varepsilon(a\cos A\theta - b\sin A\theta))^2} d\theta$로 표현되며, 이는 비트란한 타원 적분 형태로 평가된다.
• $\varepsilon=0$의 극한에서 해는 히젠베르크 군의 고전적 부분 리만 지오데식으로 축소된다: $x(t) = \frac{a\sin \lambda t - b(1 - \cos \lambda t)}{\lambda}$, $y(t) = \frac{b\sin \lambda t + a(1 - \cos \lambda t)}{\lambda}$, $z(t) = \frac{\lambda t - \sin \lambda t}{2\lambda^2}$.
• 매개변수 $\lambda$는 일정하며, $\lambda = \mu_3$로 주어지며, 해밀턴 시스템에서 $\dot{\mu}_3 = 0$ 이므로 $\mu_3$의 보존에 기인한다.