[논문 리뷰] The geometry of oriented cubes

Iain R. Aitchison|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 10.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 비아벨 코hom로지에서 입체의 코호몰로지 조건을 위한 자연스러운 귀납적 프레임워크를 제공하는 방향성 있는 입체의 기하적 구성법을 제안한다. 이는 양-바크스 방정식, 오각형 방정식, 그리고 고차원 단체 방정식이 모두 고차원 입체에서 동일한 구조적 기반을 다양한 방식으로 나타내는 것임을 규명한다.

ABSTRACT

This reports on the fundamental objects revealed by Ross Street, which he called `orientals'. Street's work was in part inspired by Robert's attempts to use N-category ideas to construct nets of C*-algebras in Minkowski space for applications to relativistic quantum field theory: Roberts' additional challenge was that `no amount of staring at the low dimensional cocycle conditions would reveal the pattern for higher dimensions'. This report takes up this challenge, presenting a natural inductive construction of explicit cubical cocyle conditions, and gives three ways in which the simplicial ones can be derived from these. (A dual string-diagram version of this work, giving rise to a Pascal's triangle of diagrams for cocycle conditions, has been described elsewhere by Street). A consequence of this work is that the Yang-Baxter equation, the `pentagon of pentagons', and higher simplex equations, are in essence different manifestations of the same underlying abstract structure. There has been recent interest in higher-categories, by computer scientists investigating concurrency theory, as well as by physicists, among others. The dual `string' version of this paper makes clear the relationship with higher-dimensional simplex equations in physics. Much work in this area has been done since these notes were written: no attempt has been made to update the original report. However, all diagrams have been redrawn by computer, replacing all original hand-drawn pictures.

연구 동기 및 목표

• 낮은 차원의 코호몰로지 조건이 고차원에서 패tern을 드러내지 못한다는 로버트의 도전에 대응하기 위해.
• n-입체에 대한 명시적인 구조를 통해 스트리트의 단체적 방향성의 기하적 해석을 제공하기 위해.
• 입체적 조건들로부터 단체적 조건들을 유도하여 입체와 단체 사이의 이중성 관계를 확립하기 위해.
• n-입체의 경계에 포함된 중첩된 임베딩된 디스크의 순서를 이용해 비아벨 코호몰로지의 표준 코호몰로지 조건을 정의하기 위해.
• 양-바크스 방정식, 오각형의 오각형, 그리고 고차원 단체 방정식의 깊이 있는 구조적 통일성을 드러내기 위해.

제안 방법

• {−, 0, +}^n의 원소로 표기된 순서된 부분입체를 가진 기하적 객체로 n차원 입체를 구성한다.
• 경계를 半구로 재귀적으로 분해하여 n-입체의 k차원 소스와 타겟을 정의한다.
• 고정된 경계를 가진 半구 위의 데이터의 연속적 변형을 이용해 사상과 고차 사상을 모델링한다.
• 귀납적 구성법을 적용하여 모든 차원에 대한 명시적 입체 코호몰로지 조건을 생성한다.
• 입체와 단체의 기하적 대응을 통해 입체 조건들로부터 단체 조건들을 도출한다.
• 모든 차원에서 소스와 타겟의 할당에 일관성을 확보하기 위해 부분입체의 표준 순서를 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 낮은 차원의 경우를 초월해 고차원 코호몰로지 조건의 패턴을 체계적으로 드러내는 방법은 무엇인가?
• RQ2 n-입체에 어떤 기하적 구조가 n-카테고리의 일관성 자료를 코딩하는가?
• RQ3 n-단체에서 유래하는 단체적 방향성은 n-입체의 방향성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 양-바크스 방정식과 오각형 방정식은 어떤 방식으로 동일한 기본 입체적 구조의 표현으로 나타나는가?
• RQ5 n-입체의 경계에 포함된 중첩된 임베딩된 디스크의 순서를 이용해 비아벨 코호몰로지의 기하적 해석을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 단체 조건들을 일반화하는 자연스러운 귀납적 입체 코호몰로지 조건의 구성법을 제공한다.
• 양-바크스 방정식, 오각형 방정식, 그리고 고차원 단체 방정식이 모두 고차원 카테고리에서 동일한 추상적 구조의 다양한 실현임을 규명한다.
• 기하적 구성법은 n-입체가 그 경계의 半구에 대한 중첩되고 순서된 변형을 통해 일관성 있는 n-카테고리 구조를 지닌다는 것을 드러낸다.
• 스트리트의 단체적 방향성은 입체적 방향성과의 이중성에 의해 도출되며, 이는 기본 일관성 자료를 유지한다.
• n-입체의 부분입체에 대한 표준 순서는 각 차원 k ≤ n에 대해 잘 정의된 소스와 타겟 시스템을 이끈다.
• 데이터 확장을 고정된 경계를 가진 연속적 변형으로 모델링함으로써, 이 작업은 비아벨 코호몰로지의 기하적 기초를 제공한다.