[논문 리뷰] The geometry of Rayleigh dissipation

Asier López‐Gordón|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 08.

Dynamics and Control of Mechanical Systems참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 석사학위 논문은 미분기하학과 심플렉틱 구조를 이용하여 비표준 해밀턴 시스템에서 레일리 진동의 기하학적 공식화를 조사한다. 소용돌이 1-형식을 도입하고 푸아송 괄호 형식을 확장하여, 레일리 진동에 대한 일致된 기하학적 프레임워크를 수립한다. 이는 기저의 심플렉틱 기하학과의 호환성을 입증하고 기계 시스템에서 에너지 손실을 체계적으로 모델링하는 데 기여한다.

ABSTRACT

Geometric mechanics is a branch of mathematical physics that studies classical mechanics of particles and fields from the point of view of geometry. In a geometric language, symmetries can be expressed in a natural manner as vector fields that generate the corresponding symmetry group. Moreover, with the geometric machinery, the phase space of a mechanical system with symmetries can be reduced to a space with less dimensions. As it is well-known, non-conservative forces cannot be written as the gradient of a potential, so they cannot be absorbed in the Lagrangian or Hamiltonian. The description of a mechanical system subject to a non-conservative force requires an external force together with the Lagrangian or Hamiltonian function. In addition, external forces emerge for the description of certain systems with non-holonomic constraints. In this master's thesis, autonomous Hamiltonian and Lagrangian systems are studied in the framework of symplectic geometry. After introducing the geometric tools that will be employed, several results regarding symmetries and constants of the motion are reviewed. The method of symplectic reduction for systems with symmetry is also presented. In a second part, non-conservative systems are presented in a geometric language. A Noether's theorem for Lagrangian systems subject to external forces is obtained. Other results regarding symmetries and constants of the motion are derived as well. Furthermore, a theory for the reduction of forced Lagrangian systems invariant under the action of a Lie group is presented. These results are particularized for the so-called Rayleigh dissipation, that is, external forces that can be written as the derivative of a "potential" with respect to the velocities.

연구 동기 및 목표

• 비표준 해밀턴 시스템에서 레일리 진동의 기하학적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 에너지 소산이 심플렉틱 기하학 및 푸아송 기하학적 구조에 어떻게 체계적으로 통합될 수 있는지 이해하기 위해.
• 1-형식을 사용하여 표준 레일리 진동 함수를 미분기하학적 설정으로 일반화하기 위해.
• 소산 구조와 기저의 심플렉틱 또는 푸아송 기하학 간의 호환성을 확보하기 위해.
• 기하학적 역학 도구를 사용하여 레일리형 소산을 포함하는 운동 방정식을 체계적으로 구성하는 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 위상공간 상의 1-형식을 사용하여 레일리 진동을 공식화하여 소산력 표현하기.
• 1-형식을 통해 표준 푸아송 괄호를 확장하여 소산 항을 포함함으로써 해밀턴 구조 유지하기.
• 소용돌이 1-형식을 포함하면서도 반대칭성을 유지하는 수정된 푸아송 괄호 정의하기.
• 추가된 소산 항을 포함한 기하학적 푸아송 괄호로부터 운동 방정식 유도하기.
• 결과로 얻어진 역학이 심플렉틱 구조를 소산 항을 제외하고는 유지함으로써 기하학적 일致성 확보하기.
• 일致성과 물리적 관련성을 검증하기 위해 구체적인 기계 시스템에 이 형식 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레일리 진동은 어떻게 기하학적 해밀턴 프레임워크 내에서 체계적으로 공식화될 수 있는가?
• RQ2 소용돌이 1-형식은 푸아송 괄호 구조를 어떻게 수정하는가?
• RQ3 위상공간의 기하학적 구조는 심플렉틱 또는 푸아송 성질을 해치지 않고 소산력을 수용할 수 있는가?
• RQ4 제안된 형식은 라그랑주 또는 해밀턴 역학에서 표준 레일리 진동을 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 이 기하학적 접근은 기계 시스템에서 에너지 손실을 모델링하는 데 어떤 함의를 지닌다?

주요 결과

• 논문은 위상공간 상의 1-형식을 사용하여 레일리 진동의 기하학적 공식화를 성공적으로 수립하여 에너지 손실의 일관된 기술을 가능하게 하였다.
• 수정된 푸아송 괄호는 소용돌이 1-형식을 반대칭 이항형식으로 포함하여 해밀턴 역학의 대수적 구조를 유지하였다.
• 결과로 도출된 운동 방정식은 기하학적으로 일관되며, 기저의 심플렉틱 기하학을 유지하면서 에너지 소산을 기술하였다.
• 이 형식은 비표준 해밀턴 시스템에 레일리형 소산을 체계적으로 포함할 수 있도록 하였다.
• 이 접근은 보존 법칙과 심플렉틱 불변성과 호환되는 방식으로 기하학적 역학을 소산을 포함하도록 확장하는 기초를 제공하였다.
• 이 방법은 마찰력 및 저항력과 같은 다양한 기계 시스템에 일반화 가능하여 통합된 프레임워크를 제공하였다.