[논문 리뷰] The geometry of the moduli space of odd spin curves

Gavril Farkas, Alessandro Verra|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 24인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 기수 스피너 곡선의 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$의 비유리 기하학을 조사하며, $g \leq 8$일 때는 비유리적임을 보이고 $g \leq 11$일 때는 비유리적임을 증명하며, $g = 12$에서 중요한 전이가 발생함을 밝힌다. 이 전이점에서 캐논리컬 클래스가 네프가 된다. $K3$ 표면에서의 무역 기법과 무카이 모델을 사용하여, 작도 가능한 유리 매개변수화와 교차수를 구성함으로써, 12차에서 슬로프 추측에 대한 반례를 제공한다.

ABSTRACT

We describe the birational geometry of the moduli space S_g^{-} of odd spin curves (theta-characteristics) for all genera g. The odd spin moduli space is a uniruled variety for g<12, and of general type for g at least 12. Furthermore, for g<9 we use the existence of Mukai models of the moduli space of curves, to prove that S_g^{-} is unirational. Our results show that in genus 8, the odd spin moduli space in unirational, whereas its even counterpart is of Calabi-Yau type.

연구 동기 및 목표

• 증가하는 $g$에 따라 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$에서 유리성에서 최대 카우다라 차원으로의 전이를 이해하는 것.
• 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{M}}_g$의 무카이 모델을 사용하여 작은 $g$에 대해 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$의 명시적 비유리 매개변수화를 구성하는 것.
• $K_{\overline{\mathcal{S}}_g^-}$의 캐논리컬 클래스의 양성과 네프가 되는 시점을 분석하는 것.
• $\overline{\mathcal{M}}_{12}$에 있는 효과적 다발을 구성하여 슬로프가 $6 + \frac{12}{13}$ 이하가 되게 하고, 슬로프 추측에 대한 반례를 제공하는 것.

제안 방법

• 기수 $g$의 일반 캐논리컬 곡선을 얻는 선형 절단을 갖는 무카이 다양체 $V_g \subset \mathbb{P}^{n_g + g - 2}$를 사용한다.
• 곡선 $C$, 분할 $Z$, $V_g$ 안의 노드 곡선 $\Gamma$를 매개변수화하는 대응 $\mathcal{P}_{g,\delta}^o$를 구성한다. 여기서 $Z$는 길이 $2g-2$인 $0$차원 부분스킴이며, $\dim \langle Z \rangle = g-2$이다.
• 자동사 $\mathrm{Aut}(V_g)$의 작용에 의해 얻어지는 몫 다양체 $\overline{\mathbb{P}}_{g,\delta}$를 정의하고, $\overline{\mathcal{S}}_g^-$와 경계 모듈리 공간 $B_{g,\delta}^-$로의 투영을 사용한다.
• 다음 공식을 사용하여 $\mathbb{P}^5$ 내의 2차 곡면의 열린 다발의 위치를 계산한다: $[\mathcal{H}] = (e-1)(e c_1(\mathcal{F}) - (e^2 + e - 4)c_1(\mathcal{E}))$.
• 최대 질량 추측을 사용하여 곱셈 사상 $\mu_0(A)$의 상사상성을 보장함으로써, $\mathbb{P}^5$ 내의 다발 $\mathbf{P}_{C,A}$를 구성한다.
• [FR]의 결과를 적용하여 이러한 다발의 분리 위치의 계급을 계산하고, 다발 $\overline{\mathcal{H}}_{12}$의 슬로프를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 기수 $g$에 대해 모듈리 공간 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$가 비유리적일까?
• RQ2 기수 $g$가 증가함에 따라 캐논리컬 클래스 $K_{\overline{\mathcal{S}}_g^-}$는 어떻게 행동하는가? 특히 음성과 네프성과의 관계에서 어떻게 되는가?
• RQ3 $K3$ 표면에서 특별한 다발의 존재를 이용하여 $g \leq 11$에 대해 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 내의 유리 곡선을 구성할 수 있는가?
• RQ4 $\overline{\mathcal{M}}_{12}$ 내 다발 $\overline{\mathcal{H}}_{12}$의 슬로프는 얼마이며, 이는 슬로프 추측을 위반하는가?
• RQ5 $\mathcal{M}_{12}$ 내에서 2차 곡면의 열린 다발을 갖는 곡선의 위치는 다발인가? 그 계급은 무엇인가?

주요 결과

• $\overline{\mathcal{S}}_g^-$는 $g \leq 8$일 때 비유리적임을 보였으며, 이는 비유리적 기반 위의 프로젝티브 번들의 비유리 동형사상으로 증명되었다.
• $g \leq 11$일 때 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$는 비유리적임을 보였으며, 유리 곡선 $P$가 존재하여 $P \cdot K_{\overline{\mathcal{S}}_g^-} = 2g - 24 < 0$를 만족함으로써 $g = 12$에서 기하학적 전이가 발생함을 시사한다.
• $\overline{\mathcal{M}}_{12}$ 내 다발 $\overline{\mathfrak{D}}_{12}$의 슬로프는 $s(\overline{\mathfrak{D}}_{12}) = \frac{4415}{642} \approx 6.877$이며, 이는 $6 + \frac{12}{13} \approx 6.923$ 이하이므로 슬로프 추측을 위반한다.
• $\mathcal{M}_{12}$ 내에서 2차 곡면의 열린 다발을 갖는 곡선의 위치 $\mathcal{H}_{12}$는 효과적 다발이며, 슬로프 $s(\overline{\mathcal{H}}_{12}) = \frac{373}{54} \approx 6.907$을 가지며, 이 역시 슬로프 추측을 위반한다.
• $\widetilde{\mathcal{H}}_{12}$의 계급은 $A^1(\overline{\textbf{M}}^{p}_{12})$ 내에서 $10\sigma_*(6c_1(\mathcal{F}) - 38c_1(\mathcal{E}))$로 계산되었으며, 이는 가상 계급 계산을 통해 슬로프를 확인한다.
• $g = 10$ 및 $g = 11$에 대해 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 내의 유리 곡선을 구성하는 데는 $K3$ 표면 위의 노드 곡선으로의 분해법이 사용되었으며, 이는 비유리성의 범위를 $g = 11$까지 확장한다.