[논문 리뷰] The Giry monad as a codensity monad

Kirk Sturtz|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 23.

Rough Sets and Fuzzy Logic인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 고전적 확률론의 핵심인 Giry 모나드를 볼록 공간에서 측도 가능 공간으로 가는 함자로부터 유도되는 코밀도스 모나드로 정립한다. 단위 구간으로의 약하게 평균을 취하는, 극한을 보존하는 함수형으로 확률 측도를 표현함으로써, Giry 모나드가 이중 이중화 모나드의 부분모나드와 동형임을 증명하고, Giry 모나드의 강한 모나드 구조를 통해 적분 연산자를 유도한다.

ABSTRACT

We present a categorical viewpoint of probability measures by showing that a probability measure can be viewed as a weakly averaging affine measurable functional taking values in the unit interval which preserves limits. The probability measures on a space are the elements of a submonad of a double dualization monad on the category of measurable spaces into the unit interval, and this monad is naturally isomorphic to the Giry monad. We show this submonad is the codensity monad of a functor from the category of convex spaces to the category of measurable spaces. A theorem proving the integral operator acting on the space of measurable functions and the space of probability measures on the domain space of those functions is given using the strong monad structure of the Giry monad.

연구 동기 및 목표

• 단위 구간으로의 약하게 평균을 취하고 극한을 보존하는 함수형으로서 확률 측도를 범주론적으로 특성화하는 것.
• Giry 모나드가 측도 가능 공간 위의 이중 이중화 모나드의 부분모나드로 자연스럽게 유도됨을 보이는 것.
• Giry 모나드가 볼록 공간에서 측도 가능 공간으로 가는 함자로부터 유도되는 코밀도스 모나드임을 증명하는 것.
• Giry 모나드의 강한 모나드 성질을 이용하여 측도 가능 함수와 확률 측도에 대한 적분 연산자의 존재성과 구조를 확립하는 것.

제안 방법

• 단위 구간에서 극한을 보존하는 약하게 평균을 취하는, 약한 선형성 조건을 만족하는 측도 가능 함수형으로서 확률 측도를 표현하는 것.
• 측도 가능 공간의 범주에서 단위 구간으로의 값들을 갖는 이중 이중화 모나드를 구성하는 것.
• 이 이중 이중화 모나드의 부분모나드 중에서 정확히 확률 측도의 구조를 포괄하는 것을 식별하는 것.
• 범주론적 이중성과 극한 보존 성질을 통해 이 부분모나드가 Giry 모나드와 동형임을 보이는 것.
• Giry 모나드가 볼록 공간에서 측도 가능 공간으로 가는 함자의 코밀도스 모나드임을 증명하는 것.
• Giry 모나드의 강한 모나드 구조를 이용하여 측도 가능 함수와 확률 측도에 작용하는 적분 연산자를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률 측도는 측도 가능 공간 위의 단위 구간으로의 함수형으로서 어떻게 범주론적으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 Giry 모나드는 볼록 공간과 측도 가능 공간 사이의 함자로부터 유도되는 코밀도스 모나드와 동형인가?
• RQ3 극한 보존성과 약하게 평균을 취하는 성질은 측도 가능 확률 함수형을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 측도 가능 공간 위의 이중 이중화 모나드는 Giry 모나드의 구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 Giry 모나드의 강한 모나드 구조로부터 측도 가능 함수와 확률 측도에 대한 적분 연산자를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• Giry 모나드는 단위 구간으로의 값들을 갖는 측도 가능 공간 위의 이중 이중화 모나드의 부분모나드와 동형이다.
• 확률 측도는 정확히 약하게 평균을 취하고 극한을 보존하며, 약한 선형성을 만족하는, 단위 구간으로의 약한 선형 측도 가능 함수형이다.
• 확률 측도의 구조를 포괄하는 부분모나드는 자연스럽게 Giry 모나드와 동형이다.
• Giry 모나드는 볼록 공간에서 측도 가능 공간으로 가는 함자의 코밀도스 모나드로 유도된다.
• 측도 가능 함수와 확률 측도에 대한 적분 연산자는 Giry 모나드의 강한 모나드 구조로부터 도출된다.
• 이 구성은 확률, 볼록성, 측도 가능 함수형 간의 깊은 범주론적 이중성 관계를 확립한다.